《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

2. 已知 $□ ABCD$ 的两边 $AB$，$AD$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$ 的两个实数根。
(1) 当 $m$ 为何值时，$□ ABCD$ 是菱形？并求出此时菱形 $ABCD$ 的边长。
(2) 若 $AB$ 的长为 2，则 $□ ABCD$ 的周长是多少？

答案： 2.
(1) $\because$ $b^2 - 4ac = m^2 - 4\left(\frac{m}{2} - \frac{1}{4}\right) = m^2 - 2m + 1 = (m - 1)^2$,
当$(m - 1)^2 = 0$,
即 $m = 1$ 时,$AB = AD$,
此时$□ ABCD$ 是菱形.
把 $m = 1$ 代入 $x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$
中,得 $x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$.
$\therefore$ $x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$.
$\therefore$ 此时菱形 $ABCD$ 的边长是$\frac{1}{2}$.
(2)把 $x = 2$ 代入 $x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$ 中,得 $4 - 2m + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$.
解得$m = \frac{5}{2}$.
把$m = \frac{5}{2}$代入$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$
中,得$x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$.
解得$x_1 = 2,x_2 = \frac{1}{2}$
$\therefore$ $AD = \frac{1}{2}$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore$ $□ ABCD$ 的周长是 $2×\left(2 + \frac{1}{2}\right) = 5$.

1. 一元二次方程 $x(x + 4)+3 = 0$ 的根的情况是(B)

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定

答案： 1. B

2. 若直线 $y = x + a$ 不经过第二象限，则关于 $x$ 的方程 $ax^{2}-3x + 1 = 0$ 的实数根的个数为1 或 2。

答案： 2. 1 或 2

3. 在 $\triangle ABC$ 中，$BC = 2$，$AB = 2\sqrt{3}$，$AC = b$，且关于 $x$ 的方程 $x^{2}-4x + b = 0$ 有两个相等的实数根，则 $AC$ 边上的中线长为2。

答案： 3. 2