《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

2. 已知二次函数$y = x^{2}-3x + m$($m$为常数)的图象与$x$轴的一个交点为$(1,0)$，则关于$x$的一元二次方程$x^{2}-3x + m = 0$的两个实数根分别是$x_{1}=1,x_{2}=2$.

答案： 2. $x_{1}=1,x_{2}=2$

3. 如图，直线$y_{1}=kx + b$与抛物线$y_{2}=ax^{2}+bx + c$交于点$A(-2,3)$和点$B(2,-1)$，若$y_{2}＜y_{1}＜0$，则$x$的取值范围是$1＜x＜2$.

答案： 3. $1＜x＜2$

4. 若$y_{1}=x^{2}-9$，$y_{2}=2x - 1$，且$y_{1}=y_{2}$，则$x$的值为4或$-2$.

答案： 4. 4或$-2$

1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = x^{2}-x - 2$分别交$y$轴、$x$轴于点$A$，$B$，动点$E$在抛物线上，$EF\perp x$轴，交直线$AB$于点$F$.则$EF$的长为$\left|x^{2}-2x\right|$(用含字母$x$的式子表示).

答案： 1. $\left|x^{2}-2x\right|$

2. 你能利用函数图象求方程$x^{2}-4x + 3 = 0$的根吗？
解法一：由函数$y = x^{2}-4x + 3$的图象(如图①)可知，它与$x$轴交点的横坐标分别为$1$，$3$，所以方程$x^{2}-4x + 3 = 0$的根是$x_{1}=1,x_{2}=3$.
解法二：由函数$y = x^{2}$和函数$y = 4x - 3$的图象(如图②)可知，两函数图象的交点的横坐标分别为$1$，$3$，所以方程$x^{2}-4x + 3 = 0$的根是$x_{1}=1,x_{2}=3$.
结论(1)：一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根是二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象与$x$轴交点的横坐标.
结论(2)：函数$y = ax^{2}$与函数$y = -bx - c$图象的交点的横坐标是方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根.
应用：若抛物线$y = x^{2}$与直线$y = x + 2$的交点坐标为$(-1,1)$和$(2,4)$，则方程$x^{2}-x - 2 = 0$的根为$x_{1}=-1,x_{2}=2$.

答案： 2. 解法一:$x_{1}=1,x_{2}=3$
解法二:$x_{1}=1,x_{2}=3$
结论
(1):横坐标
结论
(2):横坐标
应用:$x_{1}=-1,x_{2}=2$

1. 如果抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴有公共点，公共点的横坐标是$x_{0}$，那么当$x=x_{0}$时，函数的值是$0$，因此$x=x_{0}$就是方程$ax^{2}+bx + c = 0$的一个根.

答案： 1. $x=x_{0}$；$x=x_{0}$

2. 根据本节课所学知识，填写下列表格.

答案： |判别式$b^2 - 4ac$|二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a≠0$）|与$x$轴的交点情况|一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）的根的情况|
|----|----|----|----|
| |$a ＞ 0$图象开口向上|$a ＜ 0$图象开口向下| | |
|$b^2 - 4ac ＞ 0$|开口向上，抛物线与$x$轴相交|开口向下，抛物线与$x$轴相交|有两个交点|有两个不相等的实数根|
|$b^2 - 4ac = 0$|开口向上，抛物线与$x$轴相切|开口向下，抛物线与$x$轴相切|有一个交点|有两个相等的实数根|
|$b^2 - 4ac ＜ 0$|开口向上，抛物线与$x$轴相离|开口向下，抛物线与$x$轴相离|没有交点|没有实数根|

1. 抛物线$y = x^{2}-4x - 5$交$x$轴于$A$，$B$两点，则$AB$的长为6.

答案： 1. 6