《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

某项绿化工程中有一块长为 $20m$、宽为 $8m$ 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 $56m^{2}$，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），那么人行通道的宽度是多少米？

答案： 设人行通道的宽度为$ x $米。
分析绿地尺寸：
大矩形空地长$ 20m $、宽$ 8m $，通道宽度为$ x $，两块绿地相同且并排分布。
横向方向：两侧通道各宽$ x $，中间通道宽$ x $，则两块绿地总长度为$ 20 - 3x $，每块绿地长为$ \frac{20 - 3x}{2} $。
纵向方向：上下通道各宽$ x $，则绿地宽度为$ 8 - 2x $。
列方程：
两块绿地面积之和为$ 56m^2 $，每块绿地面积为$ 长 × 宽 $，故：
$ 2 × \left( \frac{20 - 3x}{2} \right) × (8 - 2x) = 56 $
化简得：
$ (20 - 3x)(8 - 2x) = 56 $
解方程：
展开并整理：
$ 3x^2 - 32x + 52 = 0 $
判别式$ \Delta = (-32)^2 - 4 × 3 × 52 = 1024 - 624 = 400 $
解得：
$ x = \frac{32 \pm \sqrt{400}}{2 × 3} = \frac{32 \pm 20}{6} $
即$ x_1 = 2 $，$ x_2 = \frac{26}{3} $（$ x_2 \approx 8.67 ＞ 8 $，不合题意，舍去）。
结论：
人行通道的宽度是$ 2 $米。
$\boxed{2}$

请阅读教材第 $20$ 页的“探究 $3$”（注意不要看解答过程），并思考：
1. 正中央的矩形与整个封面的长宽比例相同是什么含义？
2. 上、下边衬与左、右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？
3. 若设正中央的矩形的长与宽分别为 $9a cm$，$7a cm$，尝试表示边衬的宽度，并探究上、下边衬与左、右边衬的宽度的数量关系。
4. “应如何设计四周边衬的宽度”是要求四周边衬的宽度。除了根据上、下边衬与左、右边衬的宽度比，设上、下边衬宽与左、右边衬宽，还可以根据正中央矩形的长与宽的比为 $9:7$，设正中央矩形的长为 $9x cm$，宽为 $7x cm$。尝试列出方程并解答。

答案： 1.封面的长宽之比是27:21=9:7,中央的矩形的长宽之比也应该是9:7.
2.不相等.上、下边衬与左、右边衬的宽度之比为9:7.
3.上、下边衬的宽度为$\frac{1}{2}(27-9a)cm，$
左、右边衬的宽度为$\frac{1}{2}(21-7a)cm，$
由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比为$\frac{1}{2}(27-9a):\frac{1}{2}(21-7a)=9:7.$
4.根据题意，得$9x·7x=\frac{3}{4}×27×21.$
解得$x_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}≈2.6,x_2=-\frac{3\sqrt{3}}{2}（$舍去）.
所以上、下边衬的宽度为$(27-9×2.6)×\frac{1}{2}=1.8(cm)，$
左、右边衬的宽度为$(21-7×2.6)×\frac{1}{2}=1.4(cm).$

1. 如图，在长为 $32m$、宽为 $20m$ 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使道路的面积为 $100m^{2}$，设道路的宽为 $x m$，则可列方程为(C)

A.$32×20 - 32x - 20x = 100$
B.$(32 - x)(20 - x) + x^{2} = 100$
C.$32x + 20x = 100 + x^{2}$
D.$(32 - x)(20 - x) = 100$

答案： 1.C

2. 从正方形铁片上截去 $2cm$ 宽的一个长方形，余下的面积是 $48cm^{2}$，则原来的正方形铁片的面积是(D)

A.$8cm$
B.$64cm$
C.$8cm^{2}$
D.$64cm^{2}$

答案： 2.D