《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

小明在银行将 1000 元压岁钱存了一年，第二年按原利率自动转存，两年后取出 1102.5 元。你能求出小明存钱的利率吗？

答案： 设小明存钱的利率为 $x$（以小数形式表示，例如：年利率为 $2.25\%$ 则 $x=0.0225$）。
根据题意，小明第一年后的本息和为：
$1000 × (1 + x)$，
第二年后的本息和为：
$1000 × (1 + x) × (1 + x) = 1000 × (1 + x)^{2}$，
根据题意，两年后取出 $1102.5$ 元，因此有方程：
$1000 × (1 + x)^{2} = 1102.5$，
展开方程得：
$(1 + x)^{2} = 1.1025$，
对方程两边开平方得：
$1 + x = \pm \sqrt{1.1025}$，
由于利率 $x$ 应为正数，因此只取正根：
$1 + x = \sqrt{1.1025} \approx 1.05$，
解得：
$x = 1.05 - 1 = 0.05$，
将 $x$ 转换为百分数形式：
$x = 5\%$。
结论：小明存钱的利率是 $5\%$。

1. 某厂今年一月份的总产量为 100 吨，二月份的总产量比一月份的总产量增长 20%，则二月份的总产量为120吨。(填具体数字)

答案： 1.120

2. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，设平均每月的增长率是 $ x $，则二月份的总产量为500(1+x)吨；三月份的总产量为500(1+x)(1+x)吨或化简为500(1+x)^2吨。(用含 $ x $ 的式子表示)

答案： 2.500(1+x) 500(1+x)(1+x)
$500(1+x)^2$

3. 阅读教材第 19 页的“探究 2”，请回答下列问题：
(1)你是如何理解成本的年下降额与成本的年下降率的？
(2)若设甲种药品成本的年平均下降率为 $ x $，则一年后甲种药品的成本为5 000(1-x)元，两年后甲种药品的成本为5 000(1-x)^2元。由题意列出一元二次方程并求解。
(3)对上面问题(2)中的结果，同学们还有什么见解吗？
(4)设乙种药品成本的年平均下降率为 $ y $，比较两种药品中哪种药品的年平均下降率大。
(5)成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较对象的变化状况？

答案： 3.
(1)成本的年下降额=前一年的成本-本年的成本，
成本的年下降率
=$\frac{前一年的成本-本年的成本}{前一年的成本}×100\%$.
(2)5 000(1-x) 5 000(1-x)^2
5 000(1-x)^2=3 000，
解得$x_1\approx0.225,x_2\approx1.775$.
(3)根据问题的实际意义,成本的年下降率应是小于1的,所以应选择0.225.
(4)根据题意,得
6 000(1-y)^2=3 600，
解得$y_1\approx0.225,y_2\approx1.775$(不合题意,舍去).
$\therefore x_1=y_1$.
$\therefore$两种药品的年平均下降率相等.
(5)成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大.成本下降额表示绝对变化量,成本下降率表示相对变化量,两者兼顾才能全面地比较对象的变化状况.

1. 某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元，则平均每次降价的百分率为(A)

A.20%
B.40%
C.18%
D.36%

答案： 1.A

2. 在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少。去年上半年平均每周作业时长为 $ a $ min，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了 70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为 $ x $，则可列方程为(C)

A.$ a(1 - x)^2 = 70\%a $
B.$ a(1 + x)^2 = 70\%a $
C.$ a(1 - x)^2 = 30\%a $
D.$ 30\%(1 + x)^2a = a $

答案： 2.C