《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

4. 元旦到了，一个小组有若干人，若每人给小组其他成员赠送1份礼物，则全组共送出72份礼物，设此小组有$x$人，则可列方程为(B)

A.$x(x + 1) = 72$
B.$x(x - 1) = 72$
C.$x(x - 1) = 72×2$
D.$2x(x + 1) = 72$

答案： 4.B

5. 我国古代著作《四元玉鉴》中记载了“买椽多少”的问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽。每株脚钱三文足，无钱准与一株椽。”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文。如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为$x$株，则符合题意的方程为(A)

A.$3(x - 1)x = 6210$
B.$3(x - 1) = 6210$
C.$(3x - 1)x = 6210$
D.$3x = 6210$

答案： 5.A

6. 某学校为美化校园，准备在长35m、宽20m的矩形场地上修建若干条宽度相同的道路，余下部分为草坪，并请全校学生参与方案设计，现有甲、乙、丙3名同学各设计了一种方案，设计图纸分别如图①②③所示（阴影部分为草坪）。请求出每种方案中道路的宽度。（列出方程并化为一般形式）

（1）甲同学的设计图纸为图①，设计草坪的总面积为400$m^2$；
（2）乙同学的设计图纸为图②，设计草坪的总面积为600$m^2$；
（3）丙同学的设计图纸为图③，设计草坪的总面积为540$m^2$。

答案： 6.设道路的宽度为$x$m，根据题意，得
(1)$(35 - 2x)(20 - 2x)=400$。
化为一般形式为$4x^{2}-110x + 300 = 0$，
或$2x^{2}-55x + 150 = 0$。
(2)$(35 - x)(20 - x)=600$。
化为一般形式为$x^{2}-55x + 100 = 0$。
(3)$(35 - 2x)(20 - x)=540$。
化为一般形式为$2x^{2}-75x + 160 = 0$。

7. 一元二次方程$a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c = 0$化为一般形式后为$3x^2 + 2x - 1 = 0$，试求$a^2 + b^2 - c^2$的值的算术平方根。

答案： 7.将$a(x + 1)^{2}+b(x + 1)+c = 0$整理，得$ax^{2}+(2a + b)x+(a + b + c)=0$。
由题意，得$\begin{cases}a = 3,\\2a + b = 2,\\a + b + c = -1.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 3,\\b = -4,\\c = 0.\end{cases}$
$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}=9 + 16 = 25$。
$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}$的值的算术平方根是5。