《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

9. 已知二次函数$y = -x^{2}+x + 6$，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象(如图所示)，当直线$y = x + m$与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是 ( )


A. $-7\leq m\leq -3$
B. $-\frac{25}{4}\leq m＜ -3$
C. $-6\leq m\leq -2$
D. $-\frac{25}{4}\leq m＜ -2$

答案： 解析:y=−x²+x+6翻折到x轴下方的二次函数解析式为y=x²−x−6.令−x²+x+6=0,解得x=−2或x=3,
∴二次函数与x轴的交点坐标为(−2,0)和(3,0).由函数图象可得，当直线y=x +m过点(3,0)时,二者恰有3个交点,此时0=3+m,解得m=−3;当直线y=x+m①与二次函数y =x²一x−6②恰有一个交点时,联立①②整理得x²−2x−6一m=0,该方程仅有一个实数解，
∴△=
　　(−2)²−4(−6−m)=4m+28=0,解得m=−7,此时直线与新图象恰有3个交点.综上,当直线与新图象有3个或4个交点时,m的取值范围是−7≤m≤−3.

10. 设$ab\neq0$，且函数$y_{1}=x^{2}+2ax + 4b$与$y_{2}=x^{2}+4ax + 2b$有相同的最小值u；函数$y_{3}=-x^{2}+2bx + 4a$与$y_{4}=-x^{2}+4bx + 2a$有相同的最大值v，则$u + v$的值 ( )
A. 必为正数
B. 必为负数
C. 必为0
D. 符号不能确定

答案： 解析:
∵y=x²+2ax+4b=(x+a)²+4b−a²,
∴y的最小值为4b−a²;
∵y2=x²+4ax+2b=
(x+2a)²+2b−4a²,
∴y2的最小值为2b−4a².
∵最小值相同，
∴4b−a²=2b−4a²,
∴3a²+2b=0 ①,
∵ab≠0,
∴b＜0.
∵y3=−(x−b)²+4a+b²,
∴y3的最大值为4a+b².
∵y4=−(x−2b)²+2a+46²,
∴y4的最大值为2a+4b².
∵最大值相同，
∴4a+b²=2a+4b²,
∴2a=3b²②,
∵ab≠0,
∴a＞0.
　　　②+①得2(a+b)=3(b²−a²),解得a+b=0或b−a=$\frac{2}{3}$(舍去),
∴2(u+v)=[(4b−a²)+(2b−4a²)]+[(4a+b²)+(2a+4b²)]=(6a+6b)−5(a²−b²)=6(a+b)−5(a+b)(a−b)=(a+b)[6−5(a−b)]=0,
∴u十u=0.　点评:本题考查了二次函数的最值问题，难度较大，将函数的一般式化为顶点式，用a,b表示出u,v是常规思路，本题的难点及巧妙之处在于将u十u转化为2(u十u)对4 个函数的最值求和、分解因式再进一步求解.

11. 若抛物线$y = x^{2}-x + k$与x轴只有一个交点，则k的值为______.

答案： $\frac{1}{4}$

12. 若函数$y = ax^{2}+bx + c$($a\neq0$)与x轴的交点坐标为(-1,0)和(2,0)，则函数$y = a(x + 1)^{2}+bx + b + c$($a\neq0$)与x轴的交点坐标为______.

答案： (−2,0)和(1,0)

13. 如图，在一幅长50 cm，宽30 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为$y\ cm^{2}$，金色纸边的宽为x cm，则y与x的函数关系式是______.

答案： y=4x²+160x+1500

14. 某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示)，如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，则水流落地点B离墙的距离OB是______米.

答案： 1+$\sqrt{6}$　解析:由题可知点M的坐标为(1,12),A(0,10).设y=a(x−1)²²+12,将点A(0,10)代入，得a=−2,
∴y=−2(x−1)²+12.令y=0,得−2(x−1)²+12=0,解得x=1+　　$\sqrt{6}$或x=1|　　$\sqrt{6}$(舍去),
∴B(1+　　$\sqrt{6}$,0),即OB=(1+　$\sqrt{6}$)米.