《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

21. (10分)在平面直角坐标系中,设二次函数$y_{1}=(x + a)(x - a - 1)$,其中$a\neq0$.
(1)若函数$y_{1}$的图象经过点$(1,-2)$,求函数$y_{1}$的表达式;
(2)若一次函数$y_{2}=ax + b$的图象与$y_{1}$的图象经过$x$轴上同一点,探究实数$a,b$满足的关系式;
(3)已知点$P(x_{0},m)$和$Q(1,n)$在函数$y_{1}$的图象上,若$m＜n$,求$x_{0}$的取值范围.

答案： 解:
(1)把点(1,−2)代入y,得(a+1)(−a)=−2,解得a1=−2,a2=1.当a=−2时,函数y1的表达式为y=(x−2)(x+2−1),整理得y=x²−x−2;当a=1时,函数y的表达式为y=(x+1)(x−2),整理得y=x²−x−2.综上,函数y的表达式为y=x²−x−2.
(2)当y=0时,(x+a)(x−a−1)=0,解得x=−a,x2=a+1,
∴y1的图象与x轴的交点是(一a,0)或(a+1,0),当y2=ax+b经过点(−a,0)时,−a²+b=0,即b=a²;当y=ax+b经过点(a+1,0)时,a²+a+b=0,即b=−a²−a.综上,b=a²或b=−a²−a.
(3)将点P,Q坐标分别代入原二次函数，得{mn==−(xao²+−aa),(xo−a−1),
∴m=x²−xo−a²²−a.
∵m＜n,
∴x²−xo−a²−a＜−a²−a,即x²−xo＜0,
∴0＜xo＜1.

22. (12分)如图,抛物线$y=-x^{2}+mx + 5$交$x$轴正半轴于点$A$,交$y$轴于点$B$,过抛物线的顶点$C$作$CD\perp x$轴,交$x$轴正半轴于点$D$,交$AB$于点$E$,$P$为射线$ED$上一点,作点$P$关于直线$AB$的对称点$Q$,$PQ$交$AB$于点$F$,连接$CQ$,已知$OD = 2$.

(1)求证:$\triangle AOB$是等腰直角三角形;
(2)当点$P$的纵坐标是1时,判断点$Q$是否落在抛物线上,并说明理由;
(3)连接$BP$,若四边形$CEFQ$的面积是$\triangle PEF$的面积的4倍,求点$P$的坐标.

答案： 解:
(1)证明:
∵CD是对称轴,OD=2,
∴−$\frac{m}{−2}$=2,
∴m=4,
∴y=−x²+4x+5,当y=0时,0=−x²+4x+5,解得x1=−1,x2=5,当x=0时,y=5,
∴抛物线y=−x²+4x+5与x轴交点为(−1,0),A(5,0),与y轴交点为B(0,5),
∴OA=OB=5,
∵∠AOB=90°,
∴△AOB是等腰直角三角形.
(2)点Q不在抛物线上.理由如下;连接EQ.设直线AB的解析式为y=kx十b,
∵A(5,0),B(0,5),
∴{b5k=+5b,=0”解得{kb==5−,1,
∴直线AB的解析式为y=−x+5.当x=2时,y=3,
∴点E (2,3),由题可知CD//OB,P(2,1),
∴PE=2.由
(1)知△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AED=∠ABO=45°.
∵点P与点Q关于直线AB对称，
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线，
∴∠FEQ=∠AED=45°,EQ=PE=2,
∴∠PEQ=90°,
∴点Q坐标为(4,3).当x=4时,抛物线y=−x²+4x +5=5≠3,故点Q(4,3)不在抛物线上.
(3)由
(2)可知△PEQ是等腰直角三角形,设EQ=PE=a,则点P坐标为(2,3−a),点Q坐标为(2+a,3).
∵抛物线y=−x²+4x+5的顶点C为(2,9),
∴CP=6+a,
∴S△PEF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$PE²=$\frac{1}{4}$a²,S△POC=$\frac{1}{2}$×PC×EQ=$\frac{1}{2}$(6+a)a.
∵SPQC=S四边形CEFQ +S△PEF,S边形CEFQ=4S△PEF,
∴S△PQC=5SPEF,
∴$\frac{1}{2}$(6+a)a=5×$\frac{1}{4}$a²,整理得a²−4a=0,解得a1 =0(点P与Q,E重合,舍去),a2=4,故点P坐标为(2,−1).