《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

23. (12分)如图1，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，点$B(4,3)$，反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象与AB，BC分别交于D，E两点，$BD = 1$，点P是线段OA上一动点.
(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；
(2)如图2，连接DE，PE，PD，求$\triangle PDE$周长的最小值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将直线OD沿y轴向下平移且过点A，交y轴于点M，交双曲线于点N，Q为线段MN上任意一点，过点Q作与y轴平行的直线交双曲线于点F，试探索$\triangle CQF$的面积是否存在最大值？如果存在，请求出最大值；如果不存在，请说明理由.

答案：
解：
(1)
∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为(4,3)，
∴AO = 4，AB = 3，点E的纵坐标为3。
∵BD = 1，
∴AD = 2，
∴点D的坐标为(4,2)。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$经过点D，
∴$k = 8$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$。令$y = 3$，得$x=\frac{8}{3}$，
∴点E的坐标为$(\frac{8}{3},3)$。
(2)如图，作点D关于x轴的对称点G，连接EG交x轴于点$P'$，连接PG，则PD = PG，点G(4, -2)，
∴$C_{\triangle PDE}=PE + DE + PD=PE + DE + PG$。要使△PDE周长最小，则$PE + PD$要最小，即$PE + PG$最小，
∴当E，P，G三点共线时，$PE + PG$有最小值EG，此时点P在$P'$位置，设直线EG的解析式为$y = k_1x + b$，
∴$\begin{cases}4k_1 + b=-2\\\frac{8}{3}k_1 + b = 3\end{cases}$，
∴$\begin{cases}k_1=-\frac{15}{4}\\b = 13\end{cases}$，
∴直线EG的解析式为$y = -\frac{15}{4}x + 13$。令$y = 0$，得$x=\frac{52}{15}$，
∴点P的坐标为$(\frac{52}{15},0)$，
∴△PDE的周长最小值为$DE + EG=\sqrt{(4-\frac{8}{3})^2+(2 - 3)^2}+\sqrt{(4-\frac{8}{3})^2+(-2 - 3)^2}=\frac{\sqrt{241}+5}{3}$。
(3)△CQF的面积存在最大值。理由如下：设直线OD的解析式为$y = k_2x$，
∴$2 = 4k_2$，
∴$k_2=\frac{1}{2}$，
∴直线OD的解析式为$y=\frac{1}{2}x$。设直线MN的解析式为$y=\frac{1}{2}x + b_1$，把点A(4,0)代入，得$0=\frac{1}{2}\times4 + b_1$，解得$b_1=-2$，
∴直线MN的解析式为$y=\frac{1}{2}x - 2$。设点$Q(m,\frac{1}{2}m - 2)$，则点F坐标为$(m,\frac{8}{m})$，
∴$FQ=\frac{8}{m}-\frac{1}{2}m + 2$，
∴$S_{\triangle CQF}=\frac{1}{2}FQ\cdot(x_Q - x_C)=\frac{1}{2}(\frac{8}{m}-\frac{1}{2}m + 2)\cdot m=-\frac{1}{4}m^2+m + 4=-\frac{1}{4}(m - 2)^2+5$，
∴当$m = 2$时，$S_{\triangle CQF}$有最大值5。 点评：本题主要考查反比例函数及一次函数与几何图形的综合，轴对称与最短路径问题，二次函数的最值问题等，熟知相关知识是解题的关键。