《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

19. (8分)如图,∠MAN = 30°,点O为边AN上一点,以O为圆心,4为半径的⊙O交AN于D,E两点.
(1)当⊙O与AM相切时,求AD的长;
(2)如果AD = 2,那么AM与⊙O又会有怎样的位置关系? 并说明理由.

答案：
解：
(1)如图1，设切点为F，连接FO.
∵⊙O与AM相切于点F，OF为半径，
∴FO⊥AM，
∴∠AFO = 90°.
∵∠A = 30°，OF = 4，
∴AO = 2OF = 8，AD = AO - DO = 8 - 4 = 4.
(2)AM与⊙O相交. 理由：如图2，过点O作OF⊥AM于点F，则∠AFO = 90°.
∵AD = 2，DO = 4，
∴AO = AD + DO = 6，又
∵∠A = 30°，
∴OF = $\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}×6 = 3＜4$，
∴AM与⊙O相交.

20. (10分)如图,以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O,交斜边AB于点E,连接EO并延长,交BC的延长线于点D,点F为BC的中点,连接EF.
(1)判断EF与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)若⊙O的半径为2,∠EAC = 60°,求AD的长.

答案：
解：
(1)EF与⊙O相切. 理由：如图，连接FO.
∵F为BC的中点，AO = CO，
∴OF//AB.
∵AC是⊙O的直径，
∴CE⊥AE，
∴OF⊥CE，OE = OC，
∴∠OEC = ∠OCE，OF垂直平分CE，
∴FC = FE，
∴∠FEC = ∠FCE，
∵∠ACB = ∠OCE + ∠FCE = 90°，
∴∠FEO = ∠OEC + ∠FEC = 90°，
∴FE与⊙O相切.
(2)
∵⊙O的半径为2，
∴AO = CO = EO = 2，又
∵∠EAC = 60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴∠EOA = 60°，
∴∠COD = ∠EOA = 60°，
∴∠ODC = 30°，
∴OD = 2OC = 4，由勾股定理易得CD = 2$\sqrt{3}$.
∴AD = $\sqrt{CD^{2}+AC^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{7}$. 点评：本题主要考查切线的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理、垂直平分线性质定理的推论等，熟练掌握相关的性质定理并能作出常用辅助线是解本题的关键.