《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

23. (12分)如图1,在△ABC中,AB=AC,AI平分∠BAC,O是AB边上一点,以点O为圆心,OB长为半径的⊙O切AI于点I,交AB于点F.
(1)求证:I是△ABC的内心;
(2)连接IF,若IF=2,∠IBC=30°,求圆心O到BI的距离及$\overset{\frown}{IF}$的长.

答案：
解;
(1)证明:如图，延长AI交BC于点D,连接OI.
∵⊙0切AI于点I,
∴
　　OI⊥AI.
∵AB=AC,AI平分∠BAC,,
∴AD⊥BC,
∴OI//BD,
∴∠IBD=
　　∠OIB.
∵OB=0I,
∴∠OBI=∠OIB,
∴∠IBD=∠OBI,即BI平分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∠ABC,
∴点I为△ABC的内角平分线交点，即I是△ABC的内心.
(2)如图,过点O作OE⊥BI于点E.由垂径定理得OE平分BI.
∵OB=
　　OF,
∴OE是FBI的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$IF=$\frac{1}{2}$×2=1,即点O到BI的距
　　离为1.
∵∠IBC=30°,由
(1)知∠ABI=∠IBC=30°,
∴在Rt△OBE中,OB=2OE=2,
∴OF=0)I =FI,
∴△FOI为等边三角形，
∴∠FOI=60°,,
∴IF的长度为$\frac{π}{3}$×2=$\frac{2π}{3}$