《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

17. (6分)已知抛物线$y = x^{2}-(2m - 1)x + m^{2}-m$.
(1)求证:此抛物线与$x$轴必有两个不同的交点;
(2)若此抛物线与直线$y = x - 3m + 4$的一个交点在$y$轴上,求$m$的值.

答案： 解:
(1)证明:
∵a=1,b=−(2m−1),c=m²−m,
∴b²−4ac=[−(2m−1)]²−4×1×(m²−m)=4m²−4m+1−4m²+4m=1＞0,
∴抛物线y=x²−(2m−1)x+m²−m与x轴必有两个不同的交点.
(2)令x=0,则m²−m=−3m+4,整理得m²+2m−4=0,解得m1=−1+$\sqrt{5}$,m2=−1|$\sqrt{5}$

18. (8分)如图,四边形$ABCD$是菱形,点$D$的坐标是$(0,\sqrt{3})$,以点$C$为顶点的抛物线$y = ax^{2}+bx + c$恰好经过$x$轴上$A,B$两点.
(1)求$A,B,C$三点的坐标;
(2)求经过$A,B,C$三点的抛物线的解析式.

答案： 解:
(1)过点C作CE⊥AB于点E.由抛物线的对称性可知AE=BE,易证得△AOD≌△BEC,
∴OA =EB=EA.设菱形的边长为2m,则AD=2m,OA=m.
∵D(O,$\sqrt{3}$),
∴OD=$\sqrt{3}$在Rt△AOD申,m²+$\sqrt{3}$)²=(2m)²,解得m=1(负值已舍),
∴DC=2,OA=1,OB=3,
∴A,B,C三点的坐标分别为(1,0),(3,0),(2$\sqrt{3}$),
(2)设抛物线的解析式为y=a(x−2)²+$\sqrt{3}$,把A(1,0)代入,得a=−$\sqrt{3}$
∴抛物线的解析式为y=|$\sqrt{3}$(x−2)²+√3.