《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

21. (10分)如图,$\odot O$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆,$AC = BC$,$D$ 为 $OC$ 与 $AB$ 的交点,$E$ 为线段 $OC$ 延长线上一点,且 $\angle EAC=\angle ABC$.
(1)求证:直线 $AE$ 是 $\odot O$ 的切线;
(2)若 $D$ 为 $AB$ 的中点,$CD = 6$,$AB = 16$,求 $\odot O$ 的半径;
(3)如图2,在(2)的基础上,点 $F$ 在 $\odot O$ 上,且 $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BF}$,$\triangle ACF$ 的内心点 $G$ 在 $AB$ 边上,求 $BG$ 的长.

答案： 解：
(1)证明：连接AO.
∵AC = BC，
∴$\overset{\frown}{AC}$ = $\overset{\frown}{BC}$，∠BAC = ∠ABC，
∴OC⊥AB，
∴∠ADC = 90°，∠ACD = ∠BCD，∠BAC + ∠ACD = 90°.
∵∠EAC = ∠ABC，
∴∠EAC = ∠BAC.
∵OA = OC，
∴∠OAC = ∠ACD，
∴∠EAC + ∠OAC = 90°，
∴∠EAO = 90°，
∴直线AE是⊙O的切线.
(2)由
(1)得OC⊥AB，
∴AD = BD = $\frac{1}{2}$AB = 8. 设⊙O半径为r，则OA = r，OD = OC - CD = r - 6. 在Rt△OAD中，OA² = OD² + AD²，即r² = (r - 6)² + 8²，解得r = $\frac{25}{3}$，即⊙O的半径为$\frac{25}{3}$.
(3)连接CG. 在Rt△ACD中，AC = √(AD² + CD²) = √(8² + 6²) = 10，
∴BC = AC = 10.
∵点G是△ACF的内心，
∴∠ACG = ∠FCG.
∵$\overset{\frown}{BC}$ = $\overset{\frown}{BF}$，
∴∠BCF = ∠BAC. 又
∵∠BGC = ∠BAC + ∠ACG，∠BCG = ∠FCG + ∠BCF，
∴∠BGC = ∠BCG，
∴BG = BC = 10.

22. (12分)某产品每件成本为25元,经过市场调研发现,这种产品在未来20天内的日销售量 $m$(单位:件)是关于时间 $t$(单位:天)的一次函数,调研所获的部分数据如表:
|时间 $t/$天|2|3|10|20|
|----|----|----|----|----|
|日销售量 $m/$件|96|94|80|60|
这20天中,该产品每天的价格 $y$(单位:元/件)与时间 $t$ 的函数关系式为:$y=\frac{1}{4}t + 30$($t$ 为整数),根据以上提供的条件解决下列问题.
(1)求出 $m$ 关于 $t$ 的函数关系式;
(2)这20天中哪一天的日销售利润最大,最大的销售利润是多少?
(3)在实际销售的20天中,每销售一件商品就捐赠 $a$ 元($a＜6$)给希望工程,通过销售记录发现,这20天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 $t$ 的增大而增大,求 $a$ 的取值范围.

答案： 解：
(1)设m = kt + b，则{2k + b = 96，3k + b = 94}，解得{k = -2，b = 100}，
∴m关于t的函数关系式为m = -2t + 100.
(2)设日销售利润为w，根据题意，得w = ($\frac{1}{4}$t + 30 - 25)(-2t + 100) = -$\frac{1}{2}$t² + 15t + 500 = -$\frac{1}{2}$(t - 15)² + 612.5.
∵ -$\frac{1}{2}$＜0，
∴当t = 15时，w最大，为612.5. 答：第15天利润最大，最大利润是612.5元.
(3)根据题意，得w = ($\frac{1}{4}$t + 30 - 25 - a)(-2t + 100) = -$\frac{1}{2}$t² + (15 + 2a)t + 100(5 - a).
∵二次函数开口向下，对称轴是t = 15 + 2a，
∴若要使每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，且1≤t≤20，则15 + 2a＞19.5，
∴a＞2.25，又
∵a＜6，
∴2.25＜a＜6. 点评：本题主要考查一次函数与二次函数的实际应用，
(3)题为易错题，在利用二次函数的增减性讨论二次函数图象对称轴t = 15 + 2a的位置时，注意结合t为正整数这一实际情况分析，15 + 2a＞19.5即可满足题意，而非15 + 2a≥20.