《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

三、解答题(共66分)
17. (8分)小明和小强合作,将半径为1 m,圆心角为$90^{\circ}$的扇形薄铁板围成一个圆锥筒,小明认为圆锥的高就等于扇形的圆心到弦AB的距离OC,如图. 小强说这样计算不正确,你同意谁的说法? 把正确的计算过程写出来.

答案：
17. 解：同意小强的说法，小明的说法不正确. 如图，设围成的圆锥筒的底面圆的圆心为O'，$l_{\widehat{AB}}=\frac{90\pi\cdot1}{180}=\frac{\pi}{2}$，$l_{\widehat{AB}} = 2\pi\cdot O'A$，则$O'A=\frac{1}{4}$，$OO'=\sqrt{OA^{2}-O'A^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$m，而$OC = \frac{\sqrt{2}}{2}≠OO'$，
∴小强说法正确.

18. (8分)如图,已知圆弧AB.
(1)用直尺和圆规在图1中将弧AB四等分(保留作图痕迹,不写作法);
(2)如图2,若弦$AB = 8$,弧AB上的点到弦AB的最大距离$CD = 3$,求圆弧AB所在圆的半径.

答案：
18. 解：
(1)如图所示.
(2)如图，记$\widehat{AB}$所在圆的圆心为O，依题可知C，D，O三点共线，且CD⊥AB. 连接OA. 设⊙O的半径为r，则AO = CO = r，DO = CO - CD = r - 3，AD = $\frac{1}{2}$AB = 4. 在Rt△AOD中，AD² + DO² = AO²，即4² + (r - 3)² = r²，解得$r = \frac{25}{6}$.

19. (8分)如图,已知$\triangle ABC$的边AB是$\odot O$的切线,切点为B,AC经过圆心O并与圆相交于点D,C,过C作直线$CE\perp AB$,交AB的延长线于点E.
(1)求证:CB平分$\angle ACE$;
(2)若$BE = 3$,$CE = 4$,求$\odot O$的半径.

答案：
19. 解：
(1)证明：如图，连接OB.
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB.
∵CE⊥AB，
∴OB//CE，
∴∠OBC = ∠BCE.
∵OB = OC，
∴∠OBC = ∠OCB，
∴∠DCB = ∠BCE，
∴CB平分∠ACE.
(2)如图，连接DB，过点B作BF⊥CD于点F. 由
(1)知CB平分∠ACE，又
∵CE⊥AB，
∴BF = BE = 3.
∵CE = 4，
∴BC = $\sqrt{BE^{2}+CE^{2}} = 5$. 设⊙O的半径为r，则OC = OD = OB = r，在Rt△BFO中，FO = $\sqrt{OB^{2}-BF^{2}}=\sqrt{r^{2}-9}$，
∴FC = FO + OC = $\sqrt{r^{2}-9}+r$，在Rt△FCB中，CF² + BF² = BC²，即$(\sqrt{r^{2}-9}+r)^{2}+9 = 25$，整理得$\sqrt{r^{2}-9}+r = 4$，即r² - 9 = (4 - r)²，解得$r = \frac{25}{8}$.