《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

14. 求方程$x^2 + 3x - 1 = 0$的解,除了用课本的方法外,也可以采用图象的方法:画出直线$y = x + 3$和双曲线$y = \frac{1}{x}$的图象,则两图象交点的横坐标即为该方程的解. 类似地,可以判断方程$x^3 + x - 1 = 0$的解的个数有______个.

答案： 1

15. 如图,在反比例函数$y = \frac{10}{x}(x＞0)$的图象上,有点$P_1,P_2,P_3,P_4,\cdots$,它们的横坐标依次为$2,4,6,8,\cdots$,分别过这些点作$x$轴与$y$轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为$S_1,S_2,S_3,\cdots$,则$S_1 + S_2 + S_3 =$______,$S_1 + S_2 + S_3 + \cdots + S_n =$______.(用含$n$的代数式表示,$n$为正整数).

答案： $\frac{15}{2}$ $\frac{10n}{n + 1}$ 解析：由题意可得点$P_1$，$P_2$，$P_3$，$P_4$的坐标分别为(2,5)，$(4,\frac{5}{2})$，$(6,\frac{5}{3})$，$(8,\frac{5}{4})$. 由题可得$S_1 + S_2 + S_3 = 2×5 - 2×\frac{5}{4}=\frac{15}{2}$，以此类推可得$S_1 + S_2 + S_3 + \cdots + S_n = 2(5-\frac{5}{n + 1}) = 10-\frac{10}{n + 1}=\frac{10n}{n + 1}$. 点评：本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解本题的关键.

16. 如图,直线$y = kx$与反比例函数$y = \frac{a}{x}$的图象交于$A,B$两点,与函数$y = \frac{b}{x}(0 ＜ b ＜ a)$在第一象限的图象交于点$C$,$AC = 3BC$,过点$B$分别作$x$轴,$y$轴的平行线交函数$y = \frac{b}{x}$在第一象限的图象于点$E,D$,连接$AE$交$x$轴于点$G$,连接$AD$交$y$轴于点$F$,连接$FG$,若$\triangle AFG$的面积为1,则$\frac{b}{a}$的值为______,$a + b$的值为______.

答案： $\frac{1}{4}$ $\frac{160}{39}$ 解析：易知OA = OB，
∵AC = 3BC，
∴点C为OB中点，设点B的坐标为$(m,\frac{a}{m})$，则点$A(-m,-\frac{a}{m})$，点C的坐标为$(\frac{m}{2},\frac{a}{2m})$，
∴$b = \frac{1}{2}m\cdot\frac{a}{2m}=\frac{a}{4}$，即$\frac{b}{a}=\frac{1}{4}$，则点E，D的坐标分别为$(\frac{m}{4},\frac{a}{m})$，$(m,\frac{a}{4m})$. 由A，E两点的坐标得直线AE的解析式为$y = \frac{8a}{5m^{2}}x+\frac{3a}{5m}$. 设直线AE交y轴于点H. 令$\frac{8a}{5m^{2}}x+\frac{3a}{5m}=0$，解得$x = -\frac{3}{8}m$，令x = 0得$y = \frac{3a}{5m}$，
∴点G，H的坐标分别为$(-\frac{3}{8}m,0)$，$(0,\frac{3a}{5m})$. 同理可得点F的坐标为$(0,-\frac{3a}{8m})$，则$S_{\triangle AFG}=S_{\triangle HFA}-S_{\triangle HFG}=\frac{1}{2}HF×(x_G - x_A)=\frac{1}{2}×(\frac{3a}{5m}+\frac{3a}{8m})×(-\frac{3}{8}m + m)=1$，解得$a = \frac{128}{39}$.
∵$\frac{b}{a}=\frac{1}{4}$，
∴$a + b=\frac{160}{39}$.

17. (6分)如图,直线$y = x + b$与双曲线$y = \frac{k}{x}(k$为常数,$k\neq0)$在第一象限内交于点$A(1,2)$,且与$x$轴,$y$轴分别交于$B,C$两点.
(1)求直线和双曲线的解析式;
(2)点$P$在$x$轴上,且$\triangle BCP$的面积等于2,求点$P$的坐标.

答案： 解：
(1)把A(1,2)代入$y = \frac{k}{x}$，得k = 2，
∴反比例函数的解析式为$y = \frac{2}{x}$；把A(1,2)代入直线y = x + b，得b = 1，
∴直线解析式为y = x + 1.
(2)设点P的坐标为(x,0)，在y = x + 1中，令y = 0，则x = －1，令x = 0，则y = 1，
∴B(－1,0)，C(0,1)，
∴BO = CO = 1，BP = |x－(－1)|.
∵$S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}BP×CO = 2$，
∴|x－(－1)| = 4，x = 3或－5，
∴P(3,0)或(－5,0).