《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

21. (10分)如图,⊙O的半径为1,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC = ∠CPB = 60°.
(1)判断△ABC的形状:__________;
(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)当点P位于$\overset{\frown}{AB}$的什么位置时,四边形APBC的面积最大? 求出最大面积.

答案：
解：
(1)等边三角形
(2)CP = BP + AP. 证明：如图，在PC上截取PD = AP.
∵∠APC = 60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD = AP = PD，∠ADP = 60°，
∴∠ADC = 120°.
∵∠APB = ∠APC + ∠BPC = 120°，
∴∠APB = ∠ADC，又
∵∠ABP = ∠ACD，AP = AD，
∴△APB≌△ADC，
∴BP = CD，
∴CP = CD + PD = BP + AP.
(3)当点P为$\overset{\frown}{AB}$的中点时，四边形APBC的面积最大. 理由如下：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F.
∵S△APB = $\frac{1}{2}$AB·PE，S△ABC = $\frac{1}{2}$AB·CF，
∴S四边形APBC = $\frac{1}{2}$AB·(PE + CF)，当点P为$\overset{\frown}{AB}$的中点时，PE + CF = PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大.
∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB = $\sqrt{3}$，PC = 2，
∴S四边形APBC = $\frac{1}{2}\times\sqrt{3}\times2=\sqrt{3}$. 点评：本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等，
(2)题采用“截长法”添加辅助线构造全等三角形，
(3)题的关键是判断出四边形APBC面积最大时点P的位置.

22. (12分)如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,直径AC = 4,过点C作⊙O的切线,与AB延长线交于点D,M为CD中点,连接BM,OM,且BC与OM相交于点N.
(1)求证:BM与⊙O相切;
(2)当∠BAC = 60°时,求弦AB和$\overset{\frown}{AB}$所夹图形的面积;
(3)在(2)的条件下,在$\overset{\frown}{AB}$上取一点F,使得∠ABF = 15°,连接OF,交弦AB于点H,求FH的长度.

答案： 解：
(1)证明：连接OB.
∵⊙O是Rt△ABC的外接圆，
∴∠DBC = ∠ABC = 90°. 在Rt△DBC中，M为CD的中点，
∴BM = MC，
∴∠MBC = ∠MCB.
∵OB = OC，
∴∠OCB = ∠OBC.
∵CD为⊙O的切线，
∴∠ACD = ∠MCB + ∠OCB = ∠MBC + ∠OBC = 90°，即OB⊥BM，又
∵OB为⊙O的半径，
∴BM与⊙O相切.
(2)
∵∠BAC = 60°，OA = OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠AOB = 60°.
∵AC = 4，
∴OA = 2，
∴弦AB和$\overset{\frown}{AB}$所夹图形的面积为S扇形AOB - S△AOB = $\frac{60\pi\times2^{2}}{360}-\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{3}=\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}$.
(3)当∠ABF = 15°时，∠AOF = 2∠ABF = 30°，
∴等边△ABO中，OF平分∠AOB，
∴OF⊥AB. 在Rt△AOH中，AO = 2，∠AOH = 30°，
∴AH = 1，
∴OH = $\sqrt{3}$，
∴FH = 2 - $\sqrt{3}$. 点评：本题属于圆的综合问题，考查了圆周角定理、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形的面积公式等，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键.