《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

23. (12分)设a,b是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b]. 对于任何一个二次函数,它在给定的闭区间上都有最小值.
(1)函数y=-x² + 4x - 2在闭区间[0,5]上的最小值是______;
(2)求函数y=(x + $\frac{1}{2}$)² + $\frac{3}{4}$在闭区间[0,$\frac{3}{2}$]上的最小值;
(3)求函数y=x² - 4x - 4在闭区间[t - 2,t - 1](t为任意实数)上的最小值yₘᵢₙ的解析式.

答案： 解:
(1)−7　解析:
∵y=−x²+4x−2=−(x−2)²+2,其对称轴为直线x=2,且图象开口向下,
∴在闭区间[0,5]上，当x=5时有最小值,y_min=−7.
(2)y=(x+$\frac{1}{2}$)²+$\frac{3}{4}$,其对称轴为直线x=−$\frac{1}{2}$,顶点坐标(−$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{4}$),且图象开口向上.其顶点横坐标不在闭区间[0,$\frac{3}{2}$]内，
∴当x=0时，函数y有最小值,y_min=1.
(3)y=x²−4x−4=(x−2)²−8,其对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,−8),图象开口向上.①若顶点横坐标在闭区间[t−2,t−1]左侧,则2＜t−2,即t＞4,此时,当x =t−2时,函数取得最小值,y_min=(t−4)²−8=t²−8t+8;②若顶点横坐标在闭区间[t−2,t−1]内,则t−2≤2≤t−1,即3≤t≤4,此时,当x=2时,函数取得最小值,y_min=−8;③若顶点横坐标在闭区间[t−2,t−1]右侧,则t−1＜2,即t＜3,此时,当x=t−1时,函数取得最小值y_min=(t−3)²−8=t²−6t+1.综上,y_min = $\begin{cases}t^2－8t + 8(t＞4)\\－8(3≤t≤4)\\t^2－6t + 1(t＜3)\end{cases}$.