《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

8. 定义运算:$a※b = 3ab^{2}-4ab - 2$. 例如:$4※2 = 3×4×2^{2}-4×4×2 - 2 = 14$,则方程$2※x = 0$的根的情况为 ( )
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定

答案： B解析:由定义可得2※x=0可化为6x²−8x−2=0,
∵△=(−8)²−4×6×(−2)=112＞0,
∴该方程有两个不相等的实数根.

9. 如图,抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与x轴交于点A,B,顶点为C,对称轴为直线$x = 1$,给出下列结论:①$abc＜0$;②若C的坐标为$(1,2)$,则$\triangle ABC$的面积可以等于2;③$M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})$是抛物线上两点$(x_{1}＜x_{2})$,若$x_{1}+x_{2}＞2$,则$y_{1}＜y_{2}$;④若抛物线经过点$(3,-2)$,则关于x的方程$ax^{2}+bx + c + 2 = 0$的两根为$x_{1}=-1,x_{2}=3$.其中正确的有 ( )


A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B解析:
∵图象开口向下，
∴a＜o.
∵对称轴为直线x=1,即一$\frac{b}{2a}$=1,
∴b=−2a＞0,
∵图象与y轴交于正半轴，
∴c＞0,
∴abc＜0,①正确;若顶点C(1,2),令SABC=$\frac{1}{2}$AB.2=2,得AB=2.又
∵A,B 关于直线x=1对称，
∴点A必与原点重合，不符合题意，②错误;若x1+x2＞2,则$\frac{x+x2}{2}$＞1,此时有两种情况:M,N两点均位于对称轴右侧或M,N分别位于对称轴两侧且点N距离对称轴要远些，
∴y＞y2,③错误;
∵图象过点(3,−2),对称轴为直线x=1,
∴图象也过点(−1,−2).
∴(−1,−2)和(3,−2)满足方程ax²+bx十c=−2,
∴方程ax²+bx+c+2=0的两根为x=−1,x2=3,④正确.综上，正确的有2个.

10. 已知抛物线$y = k(x + 1)(x-\frac{3}{k})$与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,则能使$\triangle ABC$为等腰三角形的抛物线的条数是 ( )
A. 2条
B. 3条
C. 4条
D. 5条

答案： C　解析:
∵y=k(x+1)(x−$\frac{3}{k}${=(x+1)(kx−3),
∴抛物线经过点A(−1,0),C(0,−3),
∴AC=$\sqrt{10}$,且点B坐标为($\frac{3}{k}$,0).当k＞0时,点B在x轴的正半轴上,若AC=BC,则　$\sqrt{(\frac{3}{k})+3²}$=$\sqrt{10}$,解得k=3(负值舍去);若AC=AB,则$\frac{3}{k}$+1=　$\sqrt{10}$,解得k=√103+1;若AB=BC,则$\frac{3}{k}$+1 =　$\sqrt{\frac{3}{k})+3²}$,解得k=$\frac{3}{4}$;当k＜O时，点B在x轴的负半轴上，只有AC=AB一种可能，
∴−1-$\frac{3}{k}$=$\sqrt{10}$,解得k=−$\frac{\sqrt{10}−1}{3}$
∴能使ABC为等腰三角形的抛物线共有4条,　点评:本题主要考查二次函数与三角形的综合，解题的关键是能正确表示出含参二次函数与坐标轴的交点坐标，利用等腰三角形的性质及勾股定理分类讨论、列方程求解

11. 若关于x的一元二次方程$mx^{2}-(2m - 3)x + 2m - 3 = 0$有两个相等的实数根,则m的值为______.

答案： $\frac{3}{2}$

12. 已知$x=-1$是方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根$(b＞0)$,则$\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{c}{b}}=$______.

答案： 1

13. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$中,函数y与自变量x的部分对应值如表:
|x|…|-1|0|1|2|3|…|
|----|----|----|----|----|----|----|----|
|y|…|10|5|2|1|2|…|
则当$y＜5$时,x的取值范围是______.

答案： 0＜x＜4

14. 北仑梅山所产的草莓柔嫩多汁,芳香味美,深受消费者喜爱. 有一草莓种植大户,每天草莓的采摘量为300千克,当草莓的零售价为22元/千克时,刚好可以全部售完. 经调查发现,零售价每上涨1元,每天的销量就减少30千克,而剩余的草莓可由批发商以18元/千克的价格统一收购,则当草莓零售价为______元时,该种植户一天的销售收入最大.

答案： 25　解析:设草莓零售价上涨x元，由题得该种植户一天的销售收入为(22+x)(300−30x)+18.30x=−30x²+180x+6600=−30(x−3)²+6870,
∴当x=3，即售价为25元时，该种植户一天的销售收入最大.

15. 将二次函数$y=-x^{2}-2x$图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方,其余部分保持不变,翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象,若直线$y=\frac{1}{2}x + b$与该新图象有两个公共点,则b的取值范围为______.

答案： 0＜b＜1或b＜一$\frac{9}{16}$　解析:令−x²−2x=0,解得x=0或x=−2,记二次函数y=一x²−2x图象与x轴的交点A(−2,0),如图.当直线y=$\frac{1}{2}$x十b经过点A时,b=1,当直线y=$\frac{1}{2}$x+b经过点0时,b=0,
∴b＜1时，直线y=$\frac{1}{2}$x十b与新图象有两个交点;翻折后二次函数解析式为y=x²+2x.联立{y=$\frac{1}{2}$x+b,整理得2x²+3x−2b=0,令△=3²−4×2×(−2b)=0,解得b=−$\frac{9}{16}$.由图可知，当b＜一$\frac{9}{16}$时，直线y=$\frac{1}{2}$x十b与新图象有两个交点.综上,b的取值范围为0＜b＜1或b＜一$\frac{9}{16}$　点评:本题主要考查一次函数与二次函数的综合，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质，灵活运用数形结合与分类讨论思想是解本题的关键.

16. 如果关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”. 以下关于倍根方程的说法,正确的是______(写出所有正确说法的序号).
①方程$x^{2}-x - 2 = 0$是倍根方程;②若$(x - 2)(mx + n)=0$是倍根方程,则$4m^{2}+5mn + n^{2}=0$;③若$pq = 2$,则关于x的方程$px^{2}+3x + q = 0$是倍根方程;④若方程$ax^{2}+bx + c = 0$是倍根方程,且相异两点$M(1 + t,s),N(4 - t,s)$都在抛物线$y = ax^{2}+bx + c$上,则方程$ax^{2}+bx + c = 0$的一个根为$x=\frac{5}{4}$.

答案： ②③　解析:解x²一x−2=0得x1=2,x2=−1,不满足倍根方程定义,①错误;解(x−2)(mx+n)=0得x=2或x=−$\frac{n}{m}$.
∵该方程为倍根方程，
∴−$\frac{n}{m}$=4或一$\frac{n}{m}$=1,
∴n=−4m或n=−m,将其分别代入4m²+5mn+n²=0均成立,②正确;
∵pq=2,
∴对于方程px²+3x+q=0,△=3²−4pq=9 −8=1,
∴由公式法得方程两根为x=一$\frac{1}{p}$和x=−$\frac{2}{p}$,满足倍根方程定义，③正确;
∵相异两点M (1+t,s),N(4−t,s)都在抛物线上,
∴对称轴为直线x=一$\frac{6}{2a}$=$\frac{1+t+4−t}{2}$=$\frac{5}{2}$.设方程ax²+bx+c=0的两根为x=m和x=2m,则根据对称性得$\frac{m+2m}{2}$=$\frac{5}{2}$,
∴m=$\frac{5}{3}$,
∴该方程的两根为x=$\frac{5}{3}$和x=$\frac{10}{3}$,④错误.综上，正确的是②③.