《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

24. (12分)如果关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,研究发现了此类方程的一般性结论:设其中一个根为$t$,则另一个根为$2t$,因此$ax^{2}+bx + c=a(x - t)(x - 2t)=ax^{2}-3atx + 2t^{2}a$,所以有$b^{2}-\frac{9}{2}ac = 0$;我们记“$K = b^{2}-\frac{9}{2}ac$”即$K = 0$时,方程$ax^{2}+bx + c = 0$为倍根方程.下面我们根据此结论来解决问题：
(1)方程①$x^{2}-x - 2 = 0$;方程②$x^{2}-6x + 8 = 0$.这两个方程中,是倍根方程的是________(填序号即可);
(2)若$(x - 2)(mx + n)=0$是倍根方程,求$4m^{2}+5mn + n^{2}$的值;
(3)关于$x$的一元二次方程$x^{2}-\sqrt{m}x+\frac{2}{3}n = 0(m\geqslant 0)$是倍根方程,且点$A(m,n)$在一次函数$y = 3x - 8$的图象上,求此倍根方程.

答案： 解:
(1)②
(2)整理(x−2)(mx+n)=0得mx²+(n−2m)x−2n=0,
∵(x−2)(mx+n)=0是倍根方程，
∴K=(n−2m)²−−$\frac{9}{2}$m.(−2n)=0,
∴4m²+5mn+n²=0.
(3)
∵x²−√mx+$\frac{2}{3}$n=0是倍根方程，
∴K=(−$\sqrt{m}$)²−$\frac{9}{2}$×$\frac{2}{3}$n=0,整理得m=3n.
∵A(m,n)在一次函数y=3x−8的图象上，
∴n=3m−8,
∴n=1,m=3,
∴此倍根方程为x²$\sqrt{3}$x+$\frac{2}{3}$=0.