《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

20. (10分)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED,并使C点的对应点D点落在直线BC上.
(1)如图1,证明:DA平分∠EDC;
(2)如图2,AE与BD交于点F,若∠AFB = 50°,∠B = 20°,求∠BAC的度数;
(3)如图3,连接BE,若EB = 13,ED = 5,CD = 17,则AD的长为______.

答案： 解:
(1)证明:由旋转得∠ADE=∠C,AD=AC，,
∴∠ADC=∠C,
∴∠ADE=∠ADC,
∴DA平分∠EDC.　
(2)设CAB=∠DAE=x,
∵∠ACD=∠CAB+∠B,
∴∠ACD=x°+20°,
∵AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD=x°+20°,
∵∠AFB=∠ADC+∠DAE,
∴50°=(x°+20°)+x°,解得x=15,即∠BAC=15°.　
(3)$\frac{17\sqrt{2}}{2}$　解析:由旋转得AD=AC,BC=ED=5,∠ADE=∠C,又
∵CD=17,
∴
BD=CD−BC=12,
∵ED²+BD²=5²+12²=169,BE²=13²=169,
∴ED²+BD²=BE²,
∴∠EDB =90°,,
∴∠ADC+∠ADE=∠ADC+∠C=90°,
∴∠CAD=180°−(∠ADC+∠C)=90°,
∴　ADC 是等腰直角三角形，
∴AD²+AC2=CD²,
∴AD=$\frac{2}{2}$CD=$\frac{17\sqrt{2}}{2}$.