《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

19. (8分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径,过点B作BE⊥AD,交DA延长线于点E,AB平分∠CAE.
(1)判断BE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠ACB = 30°,⊙O的半径为2,请求出图中阴影部分的面积.

答案：
解：
(1)BE与⊙O相切. 理由：如图，连接BO.
∵OA = OB，
∴∠1 = ∠2，
∵AB平分∠CAE，
∴∠1 = ∠BAE，
∴∠2 = ∠BAE，
∴AD//OB.
∵AD⊥BE，
∴BE⊥OB.
∵BO是⊙O的半径，
∴BE与⊙O相切.
(2)
∵∠ACB = 30°，r = 2，
∴∠AOB = 60°，
∵OA = OB，
∴∠1 = ∠2 = 60°，△AOB是等边三角形，
∴AB = OB = 2，∠ABE = 30°，
∴AE = $\frac{1}{2}$AB = 1，
∴BE = $\sqrt{3}$，
∴S阴影 = S梯形AOEB - S扇形AOB = $\frac{1 + 2}{2}\times\sqrt{3}-\frac{60}{360}\pi\times2^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{3}\pi$.

20. (10分)如图是正在修建的某大门上半部分的截面,其为圆弧形,跨度CD(弧所对的弦)的长为3.2米,拱高AB(弧的中点到弦的距离)为0.8米.
(1)求该圆弧所在圆的半径;
(2)在修建中,在距大门边框的一端(点D)0.4米处将竖立支撑杆HG,求支撑杆HG的高度.

答案：
解：
(1)
∵AB垂直平分CD，
∴圆心O在BA的延长线上，CA = $\frac{1}{2}$CD. 如图，连接OC. 设⊙O的半径为r米，则OA = (r - 0.8)米.
∵CD = 3.2米，
∴CA = 1.6米. 在Rt△OAC中，1.6² + (r - 0.8)² = r²，解得r = 2，即该圆弧所在圆的半径为2米.
(2)如图，连接OG，过点G作GE⊥AB于点E. 由
(1)知AD = CA = 1.6米.
∵DH = 0.4米，
∴AH = AD - DH = 1.2米.
∵∠GEA = ∠EAH = ∠GHA = 90°，
∴四边形AHGE为矩形，
∴GH = AE，GE = AH = 1.2米. 在Rt△OEG中，OE = $\sqrt{OG^{2}-EG^{2}}=\sqrt{2^{2}-1.2^{2}} = 1.6$(米)，
∵OA = OB - AB = 2 - 0.8 = 1.2(米)，
∴AE = OE - OA = 0.4(米)，
∴GH = 0.4米，即支撑杆HG的高度为0.4米.