《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

23. (12分)问题探究：
(1)在图1的半径为R的半圆O内(含弧),画出一边落在直径MN上的面积最大的正三角形,并求出这个正三角形的面积;
(2)在图2的半径为R的半圆O内(含弧),画出一边落在直径MN上的面积最大的正方形,并求出这个正方形的面积;
问题解决：
(3)如图3,现有一块半径R=6的半圆形钢板,是否可以裁出一边落在MN上的面积最大的矩形? 若存在,请说明理由,并求出这个矩形的面积;若不存在,说明理由.

答案：
解:
(1)如图1,当以OO的半径OC为高时，所作的△ABC面积最大.此时,OC=R,∠ABC=60°,
∴∠OCB=30°,
∴CB=2OB,
∴OB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R,CB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R,
∴AB=CB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R,
∴SABC=$\frac{1}{2}$OC.AB=
　　$\frac{1}{2}$×Rײ3R=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R².　
(2)如图2,作正方形ABCD,当以O点为边BC的中点时，所作的正方形
ABCD面积最大.此时,AB=2BO,连接AO,设BO=x,则AB=2x,AO=R.在Rt△ABO申,AB²+
BO²=AO²,即(2x)²+x²=R²,
∴x=$\frac{5}{5}$R(负值已舍),
∴AB=$\frac{2√5}{5}$R,
∴S正方形ABCD=($\frac{2\sqrt{5}}{5}$R)2=
　　$\frac{4}{5}$R.　　
(3)存在.理由如下:如图3,先作一边落在直线MN上的矩形ABCD，使点A,D落在弧MN上，再作矩形ABCD及半圆O关于直径MN的轴对称图形，A,D的对称点分别为A',D.则S矩形ABCD=$\frac{1}{2}$S形AA'D'D=S△AA'D.
∵在OA⊥A'D时,△AA'D取得最大值,此时S矩形ABCD=$\frac{1}{2}$R.2R =R²=36.