《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

8. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A′B′C,D是A′B′的中点,连接BD,若BC = 2,∠ABC = 60°,则线段BD的最大值为 ( )


A. √3
B. 2√3
C. 3
D. 4

答案： 解析:连接CD.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,∠ABC=60°,
∴∠A=30°,
∴AB=2BC=
　　　4,由旋转可知,A'B'=AB=4,∠A'CB'=∠ACB=90°,
∵D是A'B'的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$A'B'=2.
∵
BD≤BC+CD=4(当B,C,D三点共线时取等号),
∴BD的最大值为4.

9. 如图,已知△ABC中,∠C = 90°,AC = BC = 2√2,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B,则C′B的长为 ( )


A. 2 - √2
B. √3/2
C. 2(√3 - 1)
D. 1

答案：
解析:
如图,连接CC,过点C作C'M⊥BC于点M.
∵△ACB'由△ACB绕点
A旋转60°得到，
∴△ACC为等边三角形，
∴CC=2√2,∠ACC=60°,
∵∠ACB
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 =90°,
∴∠BCC'=30°,
∴C'VI=$\frac{1}{2}$CC’=√2,CM=√6,
∴BM=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$←
∴C'B=
　　　$\sqrt{\sqrt{2})+(2\sqrt{2}−\sqrt{6})2}$=　$\sqrt{16−8\sqrt{3}}$=　$\sqrt{(2\sqrt{3})2−8\sqrt{3}+2²}$=2$\sqrt{3}$−2.

10. 如图,正方形ABCD的边长为4,∠BCM = 30°,点E是直线CM上一个动点,连接BE,线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF,连接DF,则线段DF长度的最小值等于 ( )


A. 4√2 - 4
B. 2√2 - 2
C. 2√6 - 2√3
D. 2√6 - √3

答案：
解析:
如图，连接BD,在BD上截取BG,使得BG=BC,连接FG并延
　　　长,过点D作DH⊥FG于点H.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD=
　　　45°,CD=CB=4,∠DCB=90°,
∴BD=4$\sqrt{2}$,BG=BC=4,
∴DG=BD−
BG=4$\sqrt{2}$−4,
∵∠CBG=∠EBF=45°,
∴∠CBE=∠GBF;当点E在点C　　　　　
                                                        CB=GB,
　　　上方时,在△CBE和△GBF中,{∠CBE=∠GBF,
∴△CBE≌△GBF
                                                         BE=BF,
　　　(SAS),
∴∠BGF=∠BCE=30°.同理可得当点E在点C下方时,∠BGF=∠BCE=150°.
∴点F在直线GF上运动，当点F与H重合时，DF的值最小.
∵DH⊥FH,∠DGH=∠BGF=30°,
∴DH=
　　　$\frac{1}{2}$DG=2$\sqrt{2}$−2,
∴DF的最小值为2$\sqrt{2}$−2.　点评:本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形进而找到点F的运动轨迹，属于中考常考题型.

11. 若点P(m,2)与点Q(3,n)关于原点对称,则(m + n)²⁰²³ = ______.

答案： (−5)²⁰²³

12. 如图是一个中心对称图形,A为对称中心,若∠C = 90°,∠B = 30°,AC = 1,则BB′的长为______.

答案： 4

13. 在平面直角坐标系中,点P(1,1),N(2,0),△MNP和△M₁N₁P₁的顶点都在格点上,△MNP与△M₁N₁P₁关于某一点成中心对称,则对称中心的坐标为______.

答案： (2,1)

14. 如图,在直角坐标系中,已知点A(- 3,0),B(0,4),对△OAB作连续旋转变换,依次得到三角形①②③④…,则三角形⑩的直角顶点与坐标原点的距离为______.

答案： 解析:
∵A(−3,0),B(0,4),
∴AB=　$\sqrt{3²+4²}$=5.由变换规律可知,△OAB每转动3次就会回到原来的状态，且向前移动3+4+5=12个单位.
∵10=3×3+1,
∴三角形⑩与三角形①状态相同,
∴直角顶点与⑨的直角顶点重合，
∴横坐标为12×3=36,即三角形⑩的直角顶点与坐标原点的距离为36.