《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

23. (12分)如图,在□ABCD中,AB = 4,BC = 8,∠ABC = 60°.点P是射线BC上一动点,作△PAB的外接圆⊙O.
(1)当DC与△PAB的外接圆⊙O相切时,求⊙O的半径;
(2)直接写出⊙O与□ABCD的边的公共点的个数及对应的BP长的取值范围.

答案：
解：
(1)如图1，取AB的中点G，过点G作GF⊥AB交DC的延长线于F，交BC于点E，则点O在线段FG上，
∴BG = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}\times4 = 2$. 连接OB，则OB = OF = r. 在Rt△OBG中，OG = $\sqrt{OB^{2}-BG^{2}}=\sqrt{r^{2}-4}$.
∵∠ABC = 60°，
∴∠BEG = 90° - ∠ABC = 30°，
∴BE = 2BG = 4，
∴EG = $\sqrt{BE^{2}-BG^{2}}=2\sqrt{3}$，EC = BC - BE = 4.
∵DC与⊙O相切，
∴∠EFC = 90°，
∵∠CEF = ∠BEG = 30°，
∴CF = $\frac{1}{2}$EC = 2，
∴EF = $\sqrt{EC^{2}-CF^{2}}=2\sqrt{3}$.
∴FG = EF + EG = 4$\sqrt{3}$.
∵OG + OF = FG，
∴$\sqrt{r^{2}-4}+r = 4\sqrt{3}$，解得r = $\frac{13\sqrt{3}}{6}$，
∴⊙O的半径为$\frac{13\sqrt{3}}{6}$.
(2)当⊙O与□ABCD的边有2个公共点时，BP＞12；当⊙O与□ABCD的边有3个公共点时，0＜BP≤4或BP = 12；当⊙O与□ABCD的边有4个公共点时，4＜BP＜12. 解析：当AD与⊙O相切时，如图2，连接AO并延长，交BC于H.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵AD与⊙O相切，
∴∠AHB = ∠DAH = 90°，
∵OH⊥BP，
∴BH = HP，
∴AP = AB，
∵∠ABC = 60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴BP = AB = 4，
∴当0＜BP≤4时，⊙O与□ABCD的边有3个公共点；当⊙O经过点D时，如图3，连接BD，DP.
∵AD//BC，
∴∠ADB = ∠DBP，
∵AB = DP，AB = CD，
∴CD = DP，
∵AB//CD，
∴∠DCP = ∠ABC = 60°，
∴△CDP是等边三角形，
∴CP = CD = AB = 4，
∴BP = BC + CP = 8 + 4 = 12，
∴当4＜BP＜12时，⊙O与□ABCD的边有4个公共点；当BP = 12时，⊙O与□ABCD的边有3个公共点；当BP＞12时，⊙O与□ABCD的边有2个公共点. 点评：本题考查了垂径定理、平行四边形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是根据题意画出图形，运用相关知识及数形结合与分类讨论的思想求解.