《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

23. (12分)如图，直线$y = -2x + 4$交y轴于点A，交抛物线$y = \frac{1}{2}x^{2}+bx + c$于点B(3,-2)，抛物线经过点C(-1,0)，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作$PE\perp DB$交DB所在直线于点E.

(1)求抛物线的解析式；
(2)当$\triangle PDE$为等腰直角三角形时，求出PE的长及点P坐标；
(3)在(2)的条件下，连接PB，将$\triangle PBE$沿直线AB翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标.

答案：
解:
(1)把点B(3,−2),C(−1,0),代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得,解得,
　　所以y=$\frac{1}{2}$x²−−$\frac{3}{2}$x−2.　
(2)设P(a,$\frac{1}{2}$a²−$\frac{3}{2}$a−2),由
(1)得D(0,−2),
∴E(a,−2).
∵△PED为等腰直角三角形，
∴PE=DE,即|$\frac{1}{2}$a²−$\frac{3}{2}$a−2+2|=|a{.当$\frac{1}{2}$a²−$\frac{3}{2}$a=a时,解得a1=5,a2=0 (舍去);当一$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a=a时,解得a3=1,a4=0(舍去).PE=5时,
∴点P(5,3),PE=1时,点P(1,−3).　
(3)($\frac{9}{5}$,−$\frac{18}{5}$)或($\frac{21}{5}$,−$\frac{2}{5}$).　解析:由
(2)知E(5,−2)或E(1,−2).作点E关于
AB的对称点E',逵接EE交AB于点F,设F(a,−2a+4).当E(5,−2)时,BE²=4,BF2=(3−a)²+(2a−6)²,FE²=(5−a)²+(2a−6)².在Rt△BFE中,BF²+EF²=BE²,即(3−a)²+(2a−6)²+(5−a)²+(2a−6)²=4,整理得5a²−32a+51=0,解得a=$\frac{17}{5}$或a=3(舍去),
∴F($\frac{17}{5}$,−$\frac{14}{5}$).
∵E 和E'关于点F对称,
∴E($\frac{9}{5}$,−$\frac{18}{5}$);当E(1,−2)时,同理可得(3−a)²+(2a−6))²+((1−a)²²+
(2a−6)²=4,整理得5a²−28a+39=0,解得α=$\frac{13}{5}$或a=3(舍去),
∴F($\frac{13}{5}$,−$\frac{6}{5}$).
∵E和E'美于点F对称,
∴E($\frac{21}{5}$,−$\frac{2}{5}$).综上,点E关于直线AB翻折后的点E'的坐标为($\frac{9}{5}$,一$\frac{18}{5}$)或($\frac{21}{5}$,−$\frac{2}{5}$).