《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

14. 如图,点$P$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x\lt0)$图象上的动点,点$P$绕着定点$O(0,0)$顺时针旋转$45^{\circ}$得到一个新的点$P'$,过点$P'$作二、四象限角平分线的垂线,垂足为点$M$,若$\triangle OMP'$的面积是$\frac{1}{2}$,则$k$的值为______.

答案： 解析:过点P作PN⊥x轴于点N,则∠PNO=∠P'MO=90°.根据题意可知∠POP'=45°,OP=OP'.
∵OM是二、四象限角平分线，
∴∠MON=45°,
∴∠MON=∠POP',
∴∠PON+∠POM=∠P'OM+∠POM,
∴∠PON=∠P'OM,
∴△PNO≌△P'MO(AAS),
∴S△PNO=S△PMO =$\frac{1}{2}$,
∵点P为反比例函数y=$\frac{k}{x}$(x＜0)图象上的点，
∴k=−2S△PNo=−1.　点评:本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数比例系数k的几何意义，作出辅助线证明三角形全等，从而得到△PNO的面积是解决本题的关键

15. 如图,点$A$的坐标是$(a,0)(a\lt0)$,点$B$是以$OA$为直径的$\odot M$上一动点,点$A$关于点$B$的对称点为点$C$.当点$B$在$\odot M$上运动时,所有这样的点$C$组成的图形与直线$y = -\frac{3}{4}x - 3$有且只有一个公共点,则$a$的值等于______.

答案：
解析:如图，连接BM,OC.由题可得直线y=一$\frac{3}{4}$x−3交x轴
　　　于点E(−4,0),交y轴于点F(0,−3).
∵AB=BC,AM=OM,A(a,0),
　
∴OC=2BM=OA=−a,
∴点C的运动轨迹是以O为圆心，一a为半径
的圆.当⊙0与直线y=−$\frac{3}{4}$x−3相切时，点C组成的图形与直线y=
　　　一$\frac{3}{4}$x−3有且只有一个公共点，设切点为G,连接OG.在Rt△EOF
　　　中,
∵OG⊥EF,且EF=　$\sqrt{3²+4²}$=5,
∴$\frac{1}{2}$OE.OF=$\frac{1}{2}$EF.OG,
∴OG=$\frac{12}{5}$,
∴a=−$\frac{12}{5}$.

16. 如图,正方形$ABCD$中,$AB = 4$,$O$是$BC$边的中点,点$E$是正方形内一动点,$OE = 2$,连接$DE$,将线段$DE$绕点$D$逆时针旋转$90^{\circ}$得$DF$,连接$AE$,$CF$.则线段$OF$长的最小值为______.

答案：
解析:如图，连接DO,将线段DO绕点D逆时针旋转90°得
DM,连接OF,FM,OM.
∵∠EDF=∠ODM=90°,
∴∠EDO=
DE=DF,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∠FDM.在△EDO与△FDM中,{∠EDO=∠FDM,
∴△EDO≌
DO=DM,
△FDM(SAS),
∴FM=OE=2.在正方形ABCD中,AB=4,O是BC边的中点,
∴OC=2,
∴OD=
　　　　$\sqrt{4²+22}$=2$\sqrt{5}$
∴OM=　$\sqrt{(2)\sqrt{5})²+(2\sqrt{5})²}$=2$\sqrt{10}$
∵OF+MF≥OM,
∴OF≥2$\sqrt{10}$−2,
∴线段OF长的最小值为2$\sqrt{10}$−2.　点评:本题考查线段长度最短的问题、三角形的三边关系、勾股定理、正方形的性质，灵活运用三角形的三边关系解决最值问题是难点也是常考点,

17. (6分)
(1)解方程:$2x^{2}-7x + 3 = 0$;
(2)已知二次函数$y = ax^{2}-2x + 1$的图象与$x$轴有交点,求$a$的取值范围.

答案： 解:
(1)(2x−1)(x−3)=0,2x−1=0或x−3=0,
∴x1=$\frac{1}{2}$,x2=3.　　
(2)
∵二次函数y=a.x²−2x +1的图象与x轴有交点，
∴a≠0且b²−4ac=(−2)²−4a×1≥0,解得a≤1.
∴a的取值范围是a ≤1且a≠0.