《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

19. (8分)如图,已知A,B,C三点在⊙O上,AB=AC,D是劣弧AC上的点(不与点A,C重合),延长BD至点E.
(1)求证:AD的延长线DF平分∠CDE;
(2)若∠BAC=30°,△ABC中BC边上的高为2+$\sqrt{3}$,求⊙O的面积.

答案： 解:
(1)证明:
∵A,B,C,D四点共圆,
∴∠CDF=∠ABC;
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ADB =∠ACB,
∴∠ADB=∠CDF;
∵∠ADB=∠EDF,
∴∠EDF=∠CDF,即AD的延长线DF平分∠CDE.　
(2)连接AO并延长,交BC于点H,交OO于点M,连接OC;
∵AB=AC,
∴AB=AC,
∴
AH⊥BC,
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°,
∴∠COH=2∠OAC=30°.设⊙O的半径为r,则CH=$\frac{1}{2}$r,OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r.
∵△ABC申BC边上高为2+√3,
∴AH=OA+OH=r+$\frac{3}{2}$r=2+　$\sqrt{3}$,解得r=2,
∴Soo =4π.

20. (8分)“筒车”是一种以水流作动力,取水灌田的工具. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理. 如图,“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆,已知圆心O始终在水面上方,且当圆被水面截得的弦AB为6米时,水面下盛水筒的最大深度为1米(即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离).
(1)求该圆的半径;
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时,则水面下盛水筒的最大深度为多少米?

答案：
解:
(1)如图，过点O作OD⊥AB于点E,交OO于点D,则AE=$\frac{1}{2}$AB=3,
DE=1.设OO的半径为r,在RtVAOE中,AE+OE=OA²,
∴3²+(r−
　　　1)²=²,解得r=5.
∴该圆的半径为5米.　　
(2)如图，当AB=8米时,AE=
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\frac{1}{2}$AB=4,在Rt△AOE申,OE=√AO−AE=3,
∴DE=5−3=2(米).即
　　　水面下盛水筒的最大深度为2米.