《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

21. (10分)同圆或等圆中,圆心角互余的两个扇形叫做互余共轭扇形. 如图,在⊙O的内接八边形中,已知AB=BC=CD=DE=2,EF=FG=GH=HA=2$\sqrt{2}$.
(1)扇形DOE与扇形EOF是否为互余共轭扇形? 请推理说明;
(2)求⊙O的半径;
(3)求阴影部分的面积.

答案：
解:
(1)是互余共轭扇形,理由如下:
∵AB=BC=CD=DE,EF=FG=GH=
　　　HA,
∴AB=BC=CD=DE,EF=FG=GH=HA.设⊙O的半径为r,则4lD
　　　+4l=2πr,即lDEF=$\frac{1}{2}$πr.设∠DOF=n°,则$\frac{ntr}{180}$=$\frac{1}{2}$πr,解得n=90,即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∠DOF=90°,
∴扇形DOE与扇形EOF是互余共轭扇形,　
(2)如图，过点F
　　　作FM⊥DE延长线于点M,由
(1)知∠DOF=∠DOE+∠EOF=(180°一
　　　2∠DEO)+(180°−2∠FEO)=360°−2∠DEF=90°,
∴∠DEF=135°,
∴
∠FEM=45°,
∴△EMF是等腰Rt△,
∵EF=2$\sqrt{2}$,ME²+MF2=EF2,
∴ME=MF=2,DM=DE+ME=2+2=4.在Rt△DMF中,DF=√DM+MF²=　$\sqrt{4²+22}$=2$\sqrt{5}$,
∵OD=OF,∠DOF=90°,
∴△DOF是等腰Rt△,
∴OD²+OF²=DF²,
∴OD=OF=　$\sqrt{10}$,即⊙O的半径为　$\sqrt{10}$　　
(3)S影=
[S扇形o−(S△++S△DF))]×4⁴==[$\frac{90π×(\sqrt{10})2}{360}$−($\frac{1}{2}$×(　$\sqrt{10}$)²+$\frac{1}{2}$×2×2)]×4=($\frac{5}{2}$π−7)
　　×4=10π−28.

22. (10分)如图,正三角形ABC的中心恰好为扇形ODE的圆心,且点B在扇形内,要使扇形ODE绕点O无论怎样转动,△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC的面积的$\frac{1}{3}$,扇形的圆心角应为多少度? 说明你的理由.

答案：
解:如图，连接OB,OC,易得S△OBC=$\frac{1}{3}$SABC,
∵S=$\frac{1}{3}$SABC,
∴S+=
　　S△OBC,即S△BGO+S△BOH=S△BOH+SOCH,
∴S△BCO=SOCH.
∵△ABC为等边
　　三角形,O为其中心点,
∴OB=0C,∠B0C=120°,∠GBO=∠HC0=30°,且
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 点O到AB的距离等于点O到BC的距离，
∴BG=CH.在△BGO和△CHO
BO=CO,
　　中,{∠GBO=∠HCO,
∴△BGO≌△CHO,
∴∠GOB=∠HOC,
∴∠DOH
BG=CH,
　　=∠BOC=120°,即扇形圆心角为120°.