《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

21. (10分)在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连接CD.
(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=2,求⊙O的半径r;
(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°,请直接写出∠DCA的度数.

答案：
解:
(1)如图1,过点O作OE⊥AC于点E,则AE=$\frac{1}{2}$AC=1,
∵翻折后点D与圆心O重合，
∴OE=
　　　$\frac{1}{2}$r.在Rt△AOE中,AO=AE²+OE,即r²=1²+($\frac{1}{2}$r)²,解得r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$(负值已舍),　　
(2)∠DCA =40°　解析:如图2,连接BC;
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=25°,
∴∠ABC=65°.根据
翻折的性质,AC所对的圆周角为∠ABC,ABC所对的圆周角为∠ADC，,
∴∠ADC+∠ABC=180°又
∵∠ADC+∠CDB=180°,
∴∠CDB=∠ABC=65°,
∴∠DCA=∠CDB−∠BAC=40°,
　　 　　　　

22. (12分)如图1,AB为半圆O的直径,半径OP⊥AB,过劣弧AP上一点D作DC⊥AB于点C. 连接DB,交OP于点E,∠DBA=22.5°.
(1)若OC=2,则AC的长为______;
(2)试写出AC与PE之间的数量关系,并说明理由;
(3)连接AD并延长,交OP的延长线于点G,设DC=x,GP=y,请求出x与y之间的等量关系式. (请先补全图形,再解答)

答案：
解:
(1)2$\sqrt{2}$−2　解析:连接OD,如图1,
∵∠DBA=22.5°,
∴∠D0C=45°,
∵DC⊥AB,
∴△DOC 为等腰直角三角形，
∵OC=2,
∴OD=2$\sqrt{2}$
∴AO=0D=2$\sqrt{2}$,
∴AC=A0−0C=2$\sqrt{2}$−2.　
(2)PE =2AC;理由:如图1,连接AD,DP,过点D作DF⊥OP于点F.
∵OP⊥AB,
∴∠POD=∠DOC=
　　45°,
∴PD=AD,
∵△DOC为等腰直角三角形，
∴DC=CO,易证DF=CO,
∴DC=DF,
∴Rt△DAC ≌Rt△DPF,
∴PF=AC,
∵DO=A0,∠D0A=45°,
∴∠DAC=67.5°,
∴∠DPE=67.5°,
∵OD=
　　OB,
∴∠ODE=∠DBA=22.5°,
∴∠DEP=∠ODE+∠DOE=67.5°,
∴∠DEP=∠DPE,
∴DP=
DE.叉
∵DF⊥PE,
∴PF=EF=$\frac{1}{2}$PE,
∴PE=2AC.　　
(3)如图2,由∠DCO=90°,∠DOC=45°得OD=√2CD=√2x,
∴AB=20D=2$\sqrt{2}$x.
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠EDG=90°,由
(2)得AD=
　　ED,∠DEG=∠DAC,
∴△DGE≌△DBA,
∴GE=AB=2$\sqrt{2}$x,
∵PE=2AC=2　$\sqrt{2}$x−x),
∴GP=
　　GE−PE=2$\sqrt{2}$x.−2$\sqrt{2}$x一x),即y=2x.　点评:本题是一道圆的综合题，涵盖的知识点较多，难度较大，主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形，并能将
(2)中所得结论灵活运用到
(3)中是解题的关键.