《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

20. (10分)如果方程$x^{2}+px + q = 0$满足两个实数解都为整数解,我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程,并规定:$G=\frac{p^{2}}{q}$,例如:$x^{2}-7x + 12 = 0$有整数解3和4,所以$x^{2}-7x + 12 = 0$属于同族方程,所以$G=\frac{(-7)^{2}}{12}=\frac{49}{12}$.
(1)如果同族方程$x^{2}+px + q = 0$有两个相等的解,我们称这个方程为同族方程中的完美方程,求证:对任意一个完美方程,总有$G = 4$;
(2)关于$x$的一元二次方程$kx^{2}-(k - 3)x - 3 = 0$属于同族方程,求整数$k$的值.

答案： 解:
(1)证明:
∵同族方程x²+px+q=0有两个相等的解，
∴△=p²−4q=0,
∴p²=4q,
∴G=²=q 4qq=4.　
(2)方程kx²−(k−3)x−3=0整理得(kx+3)(x−1)=0,解得x=一$\frac{3}{k}$或x=1.
∵该方程属于“同族方程”,
∴−$\frac{3}{k}$为整数，
∴整数k的值为−3或−1或1或3.

21. (10分)如图,城市建设部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为$1500m^{2}$的停车场,将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道,已知长方形空地的长为60 m,宽为40 m.

(1)求通道的宽度;
(2)某公司希望用60万元的承包金额承揽修建广场的工程,城市建设部门认为金额太高需要降价,通过两次协商,最终以48.6万元达成一致,若两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.

答案： 解:
(1)设通道宽为xm,依题意得(60−2x)(40−2x)=1500,即x²−50x+225=0,解得x=5,x2=45(舍去),
∴通道的宽度为5m.　
(2)设每次降价的百分率为x,依题意得60(1−x)²=48.6,解得x1=0.1,x2=1.9(舍去),
∴每次降价的百分率是10%