《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

23. (10分)阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题:如图1,在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中,AB = 2,AC = 4,以BC为边在BC的下方作等边△PBC,求AP的最大值.
(1)小伟是这样思考的:利用图形的变换和等边三角形将边的位置重新组合. 他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC,连接A′A,当点A落在A′C上时,此题可解(如图2).
请你回答:AP的最大值是______.
(2)参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:如图3,已知等腰Rt△ABC,AB = 4,P为△ABC内部一点,则AP + BP + CP的最小值是______.(结果可以不化简)

答案：
解:
(1)6　解析:由旋转得A'C=AP,A'B=AB,∠A'BA=60°,
∴△A'BA为等边三角形，
∴A'A=
AB=2.
∵A'C≤A'A+AC,
∴当A',A,C三点共线时A{C最大,此时A'C=A'A+AC=2+4=6,即
AP的最大值为6.　
(2)2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$(或　$\sqrt{32+16\sqrt{3}}$)　解析:如图
所示，
∵Rt△ABC是等腰三角形，
∴BC=AB=4.以B为中心,将
△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B,则A'B=AB=4,PA=
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 P'A',PB=P’B,∠P'BP=60°,
∴△P'PB为等边三角形，
∴PB
=P'P,
∴PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC.
∴当A',P',P,C四
点共线时,(A'P'+P'P+PC)最短，最小值即线段A'C的长.过点
A'作A{D⊥CB延长线于点D.由旋转可知∠A'BA=60°,
∴∠1=30°,
∵A'B=4,
∴A'D=2,BD=
2$\sqrt{3}$,
∴CD=4+2$\sqrt{3}$在Rt△A'DC中,A'C=√A互D²+DC=　$\sqrt{2²+(4+2\sqrt{3})2²}$=　$\sqrt{32+16\sqrt{3}}$=
2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$
∴AP+BP+CP的最小值是2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$(或不化简为　$\sqrt{32+16\sqrt{3}}$).　点评:本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质，难度较大，充分理解
(1)题中的转化思想能为
(2)题顺利解题提供帮助.