《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

15. 如图，在平面直角坐标系中，等边$\triangle OAB$和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，$S_{\triangle ABD} = \sqrt{3}$，反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象经过点B，则k的值为______.

答案：
$\sqrt{3}$ 解析：如图，连接OD。
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB = ∠BAO = 60°，
∵四边形OCDE是菱形，
∴EO = ED，DE//OB，
∴∠DEO = ∠AOB = 60°，
∴△DEO是等边三角形，
∴∠DOE = ∠BAO = 60°，
∴OD//AB，
∴$S_{\triangle BDO}=S_{\triangle AOD}$。
∴$S_{四边形ABDO}=S_{\triangle ADO}+S_{\triangle ABD}=S_{\triangle BDO}+S_{\triangle AOB}$，
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABD}=\sqrt{3}$。过点B作BH⊥OA于点H，则OH = AH，
∴$S_{\triangle OBH}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
∵反比例函数$y = \frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点B，
∴$k = \sqrt{3}$。

16. 如图，已知点$A_1$，$A_2$，…，$A_n$均在直线$y = x - 1$上，点$B_1$，$B_2$，…，$B_n$均在双曲线$y = -\frac{1}{x}$上，并且满足：$A_1B_1 \perp x$轴，$B_1A_2 \perp y$轴，$A_2B_2 \perp x$轴，$B_2A_3 \perp y$轴，…，$A_nB_n \perp x$轴，$B_nA_{n + 1} \perp y$轴，…，记点$A_n$的横坐标为$a_n$(n为正整数). 若$a_1 = -1$，则$a_{2023} =$______.

答案： -1 解析：
∵$a_1=-1$，
∴$x_{B_1}=-1$代入$y = -\frac{1}{x}$得$y_{B_1}=1$，代入$y = x - 1$得$x_{A_2}=2$即$a_2 = 2$，代入$y = -\frac{1}{x}$得$y_{B_2}=-\frac{1}{2}$，代入$y = x - 1$得$x_{A_3}=\frac{1}{2}$即$a_3=\frac{1}{2}$，代入$y = -\frac{1}{x}$得$y_{B_3}=-2$，代入$y = x - 1$得$x_{A_4}=-1$即$a_4=-1$，
∵$a_4 = a_1$，
∴3个为一组循环。
∵$2023\div3 = 674\cdots\cdots1$，
∴$a_{2023}=a_1=-1$。 点评：本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题以及点的坐标的规律，解题的关键是明确垂直于x轴的直线上的点的横坐标相等，垂直于y轴的直线上的点的纵坐标相等得出各点的坐标进而得到一般规律。

17. (6分)如图，学校打算用材料围建一个面积为18平方米的矩形ABCD的生物园，用来饲养小兔，其中矩形ABCD的一边AB靠墙，墙长为8米，设AD的长为y米，CD的长为x米.
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若围成矩形ABCD的生物园的三边材料总长不超过18米，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.

答案： 解：
(1)$y=\frac{18}{x}$。
(2)
∵$y=\frac{18}{x}$且x，y都是整数，
∴x可取1,2,3,6,9,18，又
∵$x\leq8$，$x + 2y\leq18$，
∴符合条件的有：$x = 3$，$y = 6$；$x = 6$，$y = 3$。即满足条件的所有围建方案为：AD = 6米，CD = 3米或AD = 3米，CD = 6米。

18. (8分)如图，$Rt\triangle ABO$的顶点A是双曲线$y = \frac{k}{x}$与直线$y = -x - (k + 1)$在第二象限的交点，$AB \perp x$轴于点B且$S_{\triangle ABO} = \frac{3}{2}$.
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和$\triangle AOC$的面积.

答案： 解：
(1)由$S_{\triangle ABO}=\frac{3}{2}$得$|k| = 3$。
∵$y = \frac{k}{x}$的图象在第二、四象限，
∴$k=-3$，
∴$y = -\frac{3}{x}$，$y=-x + 2$。
(2)联立$\begin{cases}y = -\frac{3}{x}\\y=-x + 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_1=-1\\y_1 = 3\end{cases}$或$\begin{cases}x_2 = 3\\y_2=-1\end{cases}$，
∴A(-1,3)，C(3, -1)，记直线AC交x轴于点D，则D(2,0)，
∴$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}[3-(-1)]\times2 = 4$。