《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

20. (8分)如图,$\triangle ABD$是$\odot O$的内接三角形,E是弦BD的中点,点C是$\odot O$外一点且$\angle DBC = \angle A$,连接OE并延长与$\odot O$相交于点F,与BC相交于点C.
(1)求证:BC是$\odot O$的切线;
(2)若$\odot O$的半径为6,$BC = 8$,求弦BD的长.

答案： 20. 解：
(1)证明：连接OB，OD.
∵E是弦BD的中点，
∴BE = DE，OE⊥BD，$\widehat{BF}=\widehat{DF}=\frac{1}{2}\widehat{BD}$，
∴∠BOE = $\frac{1}{2}$∠BOD = ∠A，∠OBE + ∠BOE = 90°.
∵∠DBC = ∠A，
∴∠BOE = ∠DBC.
∴∠OBE + ∠DBC = 90°，
∴∠OBC = 90°，即BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线.
(2)
∵OB = 6，BC = 8，BC⊥OB，
∴OC = $\sqrt{OB^{2}+BC^{2}} = 10$.
∵$S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}OC\cdot BE=\frac{1}{2}OB\cdot BC$，
∴$BE=\frac{OB\cdot BC}{OC}=\frac{6\times8}{10}=4.8$，
∴BD = 2BE = 9.6.

21. (10分)定义:如果一个圆内接四边形的四个内角中有两个角相等,我们称这样的四边形为圆内接等角四边形.
(1)概念理解:请你根据上述定义举一个圆内接等角四边形的例子;
(2)问题探究:如图1,四边形ABCD是圆内接等角四边形,若$\angle B = \angle C$,则线段AB与CD相等吗? 试说明理由;
(3)应用拓展:如图2,A,B,C是$\odot O$上的三点,$AB = BC = 2$,且$\odot O$半径为2,在图上找出点D,使得四边形ABCD是圆内接等角四边形,并求出CD的长.

答案：
21. 解：
(1)如正方形，矩形，或一对对角为直角的四边形，等腰梯形等.
(2)相等. 理由如下：
∵四边形ABCD是圆内接等角四边形，∠B = ∠C，
∴$\widehat{ADC}=\widehat{BAD}$，即$\widehat{CD}+\widehat{AD}=\widehat{AB}+\widehat{AD}$，
∴$\widehat{CD}=\widehat{AB}$，
∴AB = CD.
(3)如图，分别有D₁，D₂，D₃三种情况. D₁位置时，连接OA，OB，AB = BC = OA = 2，当∠BCD₁ = ∠D₁时，由
(2)知AD₁ = BC = 2，
∴∠AOB = ∠BOC = ∠AOD₁ = 60°，
∴∠COD₁ = 3×60° = 180°，即CD₁经过圆心，
∴CD₁ = 4；D₂位置时，∠BCD₂ = ∠BAD₂ = 90°，BD₂经过圆心，此时$CD_{2}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}$；D₃位置时，∠BAD₃ = ∠AD₃C，由
(2)知CD₃ = AB = 2. 综上，CD的长为4或$2\sqrt{3}$或2.