《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

8. 如图,从圆外一点P引圆的两条切线PA,PB,A,B为切点,C为PB上的一点,连接CO交⊙O于点D,若CD//PA,PA = 9,CD = 2,则⊙O的半径长是( )


A. $2\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{3}$
C. 4
D. 3

答案： D 解析：连接OB，OA，过点C作CH⊥PA于点H.
∵PA，PB是从圆外一点P引出的两条切线，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，易得四边形AOCH为矩形，
∴OA = CH，OC = AH. 设⊙O半径为r，则OB = OA = OD = CH = r.
∵CD = 2，BP = AP = 9，
∴在Rt△BCO中，BC = $\sqrt{CO^{2}-BO^{2}}=\sqrt{(2 + r)^{2}-r^{2}}=\sqrt{4r + 4}$. 在Rt△CPH中，PH = AP - AH = AP - OC = 9 - 2 - r = 7 - r.
∵CD//PA，
∴易证得△BCO≌△HPC，
∴BC = HP，即$\sqrt{4r + 4}=7 - r$，解得r = 3或r = 15(舍去)，
∴⊙O的半径长是3.

9. 如图,四边形ABCD中,AD//BC,∠ABC = 90°,AD = 2,AB = 6,以AB为直径的⊙O切CD于点E,F为$\overset{\frown}{BE}$上一动点,过F点的直线MN与⊙O相切,MN交BC于点M,交CD于点N,则△MCN的周长为( )


A. 9
B. 10
C. $3\sqrt{11}$
D. $2\sqrt{23}$

答案： A 解析：过点D作DH⊥BC于点H. 在四边形ABCD中，∠ABC = 90°，AD//BC，
∴∠DAB = 90°.
∵DH⊥BC，
∴∠DHB = 90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∴BH = AD = 2，DH = AB = 6.
∵CD与⊙O切于E点，
∴DE = AD = 2，CE = BC，设CE = BC = x. 在Rt△DCH中，DC = 2 + x，CH = x - 2，DH = 6.
∴DH² + CH² = DC²，即6² + (x - 2)² = (2 + x)²，解得x = $\frac{9}{2}$，
∴CE = BC = $\frac{9}{2}$.
∵MN与⊙O切于点F，
∴FN = EN，FM = BM，
∴C△MCN = CN + FN + FM + MC = CN + EN + BM + MC = CE + CB = 2BC = 9. 点评：本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角. 也考查了勾股定理.

10. 如图,⊙O的半径是4,A为⊙O上一点,M是OA上一点(M在⊙O内),过点M作OA切线l,且l与⊙O相交于P,Q两点,若OA的半径为2,当线段PQ最长时,线段OM的长度为m,当线段PQ最短时,线段OM的长度为n,则m - n的值是( )


A. $2\sqrt{5}-3$
B. $\sqrt{3}$
C. $2\sqrt{2}-2$
D. $2\sqrt{3}-2$

答案： D 解析：当过点O作⊙A的切线，切⊙A于点M，交⊙O于P，Q两点，此时线段PQ最长为⊙O直径. 连接OA，AM，则AM = 2，OA = 4，且∠AMO = 90°，
∴OM = 2$\sqrt{3}$，即m = 2$\sqrt{3}$；连接OA，交⊙A于点M，过点M作⊙A切线交⊙O于P，Q两点，此时线段PQ最短，且PQ⊥OA.
∵OA = 4，AM = 2，OM = OA - AM = 2，即n = 2，
∴m - n = 2$\sqrt{3}-2$. 点评：本题考查直线与圆的相切以及圆的基本性质，判断出过圆心的弦是最长弦以及垂径弦是最小弦是解决本题的关键.

11. 如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠A = 30°,BC = 3,则⊙O的半径为______.

答案： 3

12. 在同一平面上⊙O外一点P到⊙O的距离最长为7cm,最短为2cm,则⊙O的半径为______cm.

答案： 2.5

13. 如图,在⊙O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD = DC,则∠C =______度.

答案： 45

14. 如图,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(4,4),C(6,2),则经过A,B,C三点的圆弧所在圆心M的坐标为______;点D坐标为(8,-2),连接CD,直线CD与⊙M的位置关系是______.

答案：
(2,0) 相切 解析：作弦AB和弦BC的中垂线，交于点M，如图，经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为(2,0). 连接MC，MD.
∵MC² = 4² + 2² = 20，CD² = 4² + 2² = 20，MD² = 6² + 2² = 40，
∴MD² = MC² + CD²，
∴∠MCD = 90°，又
∵MC为半径，
∴直线CD是⊙M的切线.

15. 已知PB是⊙O的切线,B为切点,直线OP交⊙O于点A,BC⊥OP,垂足为C,OA = 6cm, OP = 8cm,则AC的长为__________ cm.

答案：
$\frac{3}{2}$或$\frac{21}{2}$ 解析：如图，
∵PB为⊙O切线，B为切点，
∴OB⊥BP，当点A位于A1时，有OB = OA1 = 6 cm，OP = 8 cm，
∴BP = $\sqrt{OP^{2}-OB^{2}}=\sqrt{8^{2}-6^{2}}=2\sqrt{7}$cm，
∴S△OBP = $\frac{1}{2}OB·BP=\frac{1}{2}BC·OP$，即$\frac{1}{2}×6×2\sqrt{7}=\frac{1}{2}×BC×8$，
∴BC = $\frac{3\sqrt{7}}{2}$. 在Rt△OBC中，OC = $\sqrt{OB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{6^{2}-(\frac{3\sqrt{7}}{2})^{2}}=\frac{9}{2}$cm，又
∵OA1 = 6 cm，
∴A1C = OA1 - OC = 6 - $\frac{9}{2}=\frac{3}{2}$cm；当点A位于A2时，同理可得OC = $\frac{9}{2}$cm，
∴A2C = OA2 + OC = 6 + $\frac{9}{2}=\frac{21}{2}$cm.

16. 如图,正方形ABCD的边长AB = 8,半径为3的⊙O与边AB,AD相切,与对角线BD相交于点E,F,则EF的长为______.

答案：
2$\sqrt{7}$ 解析：记⊙O与正方形AB边的切点为G，连接OG，则OG = 3.
∵⊙O与AB，AD均相切，由对称性可知，AG = OG = 3，AO = 3$\sqrt{2}$. 连接AO并延长交DB于点H，则AH⊥BD.
∵正方形ABCD的边长为8，
∴AH = 4$\sqrt{2}$，
∴OH = AH - AO = $\sqrt{2}$. 连接OE. EH = $\sqrt{OE^{2}-OH^{2}}=\sqrt{3^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{7}$，
∴EF = 2EH = 2$\sqrt{7}$.