《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

13. 如图,正五边形 $ABCDE$ 的边长为2,分别以点 $C,D$ 为圆心,$CD$ 长为半径画弧,两弧交于点 $F$,则 $\overset{\frown}{BF}$ 的长为______.

答案： $\frac{8}{15}$π 解析：连接CF，DF，则△CFD是等边三角形，
∴∠FCD = 60°，
∵在正五边形ABCDE中，∠BCD = 108°，
∴∠BCF = 48°，
∴$l_{\overset{\frown}{BF}}$ = $\frac{48×π×2}{180}$ = $\frac{8}{15}$π.

14. 二次函数 $y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$ 的部分图象如图,图象过点 $(-1,0)$,对称轴为直线 $x = 2$. 当函数值 $y＜0$ 时,自变量 $x$ 的取值范围是__________.

答案： x＜ -1或x＞5

15. 如图,正方形 $ABCD$ 与正三角形 $AEF$ 的顶点 $A$ 重合,将 $\triangle AEF$ 绕其顶点 $A$ 旋转,在旋转过程中,当 $BE = DF$ 时,$\angle BAE$ 的大小可以是______.

答案：
15°或165° 解析：由题可知，∠BAD = 90°，∠EAF = 60°，AE = AF，AB = AD. 若BE = DF，则△ABE≌△ADF. 当正三角形AEF与正方形ABCD相交时，无满足题意的情况；如图1，当正三角形AEF在正方形ABCD内时，易得∠BAE = ∠DAF = $\frac{1}{2}$(∠BAD - ∠EAF) = 15°；如图2，当正三角形AEF在正方形ABCD外时，同理可得∠BAE = ∠DAF = $\frac{1}{2}$(360° - ∠BAD + ∠EAF) = 165°. 点评：本题考查旋转的应用，此题可根据条件得到△ABE≌△ADF，但∠BAE和∠DAF的表示在旋转的过程中具有变化性，应分类讨论，避免漏解.

16. 如图,点 $C$ 是半圆上一点,$AB$ 是直径,将 $\overset{\frown}{BC}$ 沿 $BC$ 翻折,交 $AB$ 于点 $D$,再将 $\overset{\frown}{BD}$ 沿 $BD$ 翻折,交 $BC$ 于点 $E$,若点 $E$ 是 $\overset{\frown}{BD}$ 的中点,$AD = 2$,则阴影部分的面积为______.

答案：
3 + 2√2 解析：如图，连接AC，CD，DE，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DJ⊥CE于J.
∵∠ABC = ∠DBC = ∠DBE，
∴$\overset{\frown}{AC}$ = $\overset{\frown}{CD}$ = $\overset{\frown}{DE}$，
∴AC = CD = DE，
∴AH = HD，CJ = JE.
∵E是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DE}$ = $\overset{\frown}{BE}$，
∴DE = BE，
∴∠EDB = ∠EBD. 设∠EDB = ∠EBD = x，则∠DCE = ∠DEC = ∠EDB + ∠EBD = 2x，
∴∠A = ∠CDA = ∠DCE + ∠EBD = 3x.
∵AB是直径，
∴∠ACB = 90°，
∴∠A + ∠B = 90°，即3x + x = 90°，解得x = 22.5°，
∴∠A = ∠CDA = 67.5°.
∵CA = CD，CH⊥AD，
∴∠ACH = ∠DCH = 22.5°. 在CH上取一点T，使得CT = DT，连接DT，则∠TDC = ∠TCD = 22.5°，
∴∠HTD = ∠TCD + ∠TDC = 45°.
∵∠THD = 90°，
∴∠HDT = ∠HTD = 45°，
∴HT = DH = $\frac{1}{2}$AD = 1，
∴TC = TD = √2，
∴CH = 1 + √2，
∴CD² = CH² + DH² = (1 + √2)² + 1 = 4 + 2√2.
∵∠DCE = ∠DEC = 2x = 45°，
∴△DCE是等腰直角三角形. 易知S扇形AmC = S扇形DnE，
∴S阴 = S四边形ACED = S△ACD + S△CDE = $\frac{1}{2}$AD·CH + $\frac{1}{2}$CD² = $\frac{1}{2}$×2×(1 + √2) + $\frac{1}{2}$×(4 + 2√2) = 3 + 2√2. 点评：本题主要考查圆周角定理、等腰直角三角形判定和性质、勾股定理、扇形的面积等知识，学会添加常用辅助线，利用特殊角解决问题是解答本题的关键.

17. (6分)解下列方程：
(1)$x^{2}-2x - 15 = 0$; (2)$(x + 1)^{2}=4(x - 1)^{2}$; (3)$x^{2}-3x + 1 = 0$.

答案： 解：
(1)x² - 2x - 15 = 0，(x + 3)(x - 5) = 0，x₁ = -3，x₂ = 5.
(2)(x + 1)² = 4(x - 1)²，(x + 1)² - 4(x - 1)² = 0，(x + 1 - 2x + 2)(x + 1 + 2x - 2) = 0，(-x + 3)(3x - 1) = 0，x₁ = 3，x₂ = $\frac{1}{3}$.
(3)x² - 3x + 1 = 0，Δ = (-3)² - 4×1×1 = 5＞0，
∴x = $\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
∴x₁ = $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$，x₂ = $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

18. (8分)如图是过 $A,B,C$ 三点的圆弧.
(1)作出该圆弧所在圆的圆心(要求尺规作图);
(2)若 $AB = 2$,该圆弧所在圆的半径为 $\sqrt{2}$,$\angle ABC = 105^{\circ}$,求 $BC$ 的长.

答案：
解：
(1)分别作AB的垂直平分线MN和BC的垂直平分线PF，二者交点O即为该圆弧所在圆的圆心，如图所示.
(2)如图，连接OB.
∵OD⊥AB，
∴BD = $\frac{1}{2}$AB = 1. 又
∵OB = √2，
∴OD = √(OB² - BD²) = 1，
∴OD = BD，
∴∠OBD = 45°. 又
∵∠ABC = 105°，
∴∠OBC = 60°，
∵OE⊥BC，
∴∠BOE = 30°，
∴BE = $\frac{1}{2}$OB = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BC = 2BE = √2.