《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

21. (10分)已知抛物线$y = x^{2}+bx + c$的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A(-1,0)，与y轴的交点坐标为C(0,-3).

(1)求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；
(2)根据图象回答：当x取何值时，$y＜0$?
(3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求$PA + PC$的值最小时的点P的坐标.

答案：
解:
(1)把点A(−1,0),C(0,−3)代入抛物线y=x²+bx十c可得{c1=−b−+3c,=0,解得{bc==−−23,,
∴函数表达式为y=x²−2x−3,当y=0时,x²−2x−3=0,解得x=−1,x2=3,
　
∴另一个交点B的坐标为(3,0),　
(2)根据图象可得:当−1＜x＜3时，y＜0.
(3)
∵y=x²−2x−3=(x−1)²−4,
∴抛物线对称轴为直线x=1.如图，作直
　　线BC与直线x=1,交点P就是所求的点.设直线BC为y=kx+b,将点B(3,0),C(0,−3)代入得{b3k=+−b=3,0,解得{kb==1−,3,
∴直线BC的函数表达式为y
　　=x−3,把x=1代入y=x−3,得y=−2,
∴点P的坐标为(1,−2),

22. (12分)如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长是12 m，宽是4 m. 按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用$y = -\frac{1}{6}x^{2}+bx + c$表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m时，到地面OA的距离为$\frac{17}{2}$m.
(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过? 并说明理由；
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯(灯的长度不计)，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少?

答案： 解:
(1)由题意得y=−$\frac{1}{6}$x²+bx+c经过点B(0,4),B1(12,4),代入一$\frac{1}{6}$×12²+12b+c=4,解b=2,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4×(−$\frac{1}{6}$)×4−2²
　　得{c=4,
∴y=−$\frac{1}{6}$x2+2x+4.拱顶D到地面OA的距离为$\frac{4ac−b²}{4a}$=　　4×＜(−$\frac{1}{6}$　　=10m.
(2)能安全通过.理由如下:由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0).当x=2 或x=10时,y=$\frac{22}{3}$＞6,
∴这辆货车能安全通过.　
(3)令y=8,则一$\frac{1}{6}$(x−6)²+10=8,解得x=6 +2$\sqrt{3}$,x2=6−2$\sqrt{3}$,则x−x2=4$\sqrt{3}$,
∴两排灯的水平距离最小是4$\sqrt{3}$m.