《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

23. (12分)我们知道,解一元二次方程,可以把它转化为两个一元一次方程来解,其实用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程,例如一元三次方程$x^{3}+x^{2}-2x = 0$,可以通过因式分解把它转化为$x(x^{2}+x - 2)=0$,解方程$x = 0$和$x^{2}+x - 2 = 0$,可得方程$x^{3}+x^{2}-2x = 0$的解.

(1)问题:方程$x^{3}+x^{2}-2x = 0$的解是$x_{1}=0,x_{2}=$______, $x_{3}=$______;
(2)拓展:用“转化”思想求方程$\sqrt{2x + 3}=x$的解;
(3)应用:如图,已知矩形草坪$ABCD$的长$AD = 8m$,宽$AB = 3m$,小华把一根长为10 m的绳子的一端固定在点$B$处,沿草坪边沿$BA,AD$走到点$P$处,把长绳$PB$段拉直并固定在点$P$处,然后沿草坪边沿$PD,DC$走到点$C$处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点$C$处,求$AP$的长.

答案： 解:
(1)−2　1　解析:
∵xA+x²−2x=0,
∴x(x²+x−2)=0,
∴x(x+2)(x−1)=0,
∴x=0或x+2=0或x−1=0,
∴x1=0,x2=−2,x3=1.　
(2)$\sqrt{2x+3}$=x,两边平方,得2x+3=x²,变形整理，得x²−2x−3=0,解得x=3,x2=−1(舍去),
∴原方程的解为x=3.　　
(3)设AP的长为xm,
∵PB+PC=10m,
∴$\sqrt{x²+9}$+　$\sqrt{(8−x)²+9}$=10,
∴$\sqrt{(8−x)²+9}$=10−　$\sqrt{x²+9}$,两边平方，得(8−x)²+9=100−20$\sqrt{x²+9}$+x²+9,
∴5$\sqrt{x²+9}$=4x+9,
∴25(x²+9)=16x²+72x+81,解得x1=x2=4,经检验,x=4是原方程的解,
∴x=4,即AP=4m　点评:本题考查了转化的思想方法及一元二次方程的解法，解含二次根式的方程时注意要验根.解
(3)小题时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键.