《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

16. 如图,△ABC为⊙O的内接等边三角形,BC=12,点D为$\overset{\frown}{BC}$上一动点,BE⊥OD于点E,当点D由点B沿$\overset{\frown}{BC}$运动到点C时,线段AE的最大值是______.

答案：
2$\sqrt{21}$+2$\sqrt{3}$ 解析:如图，连接BO并延长，交CA于点H,取OB中点M,连接
　　　EM
∵BE⊥DE,M为OB中点,
∴ME=$\frac{1}{2}$OB,
∴点E在以M为圆心，$\frac{1}{2}$OB为半
　　　径的圆上,当A,M,E三点共线时,AE最大.
∵△ABC为OO的内接等边三角
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 形,BC=12,
∴AC=BC=12,BH⊥AC,CH=AH=$\frac{1}{2}$AC=6,
∴BH=6$\sqrt{3}$.
∵
　　　O为正△ABC的外心，
∴BO=$\frac{2}{3}$BH=4$\sqrt{3}$
∴OH=2$\sqrt{3}$.
∵M为OB中点,
∴
　　　OM=ME=$\frac{1}{2}$OB=2$\sqrt{3}$,
∴MH=OM+OH=4$\sqrt{3}$在Rt△AMH申,AM=　$\sqrt{AH+MH}$=
　　　　$\sqrt{6²+(4\sqrt{3})²}$=2$\sqrt{21}$,
∴AE=AM+ME=2$\sqrt{21}$+2$\sqrt{3}$,即AE最大值为2$\sqrt{21}$+2$\sqrt{3}$　　点评:本题考查圆与内接正三角形的性质，涉及直角三角形的性质、勾股定理、三角形外心的性质，解题的关键是理解题意，利用性质确定出点E的运动轨迹.

17. (6分)如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,分别以AB,AC为直径画半圆,以点A为圆心,AB为半径画弧,求这三段弧所围成的图形的周长和面积.

答案： 解:AB=$\frac{1}{2}$×2π=π,S半AB=$\frac{1}{2}$π×1²=$\frac{π}{2}$,同理得俭=π,S半AC=$\frac{π}{2}$,lR=$\frac{1}{4}$×2π×2=π,S扇形ABC=$\frac{1}{4}$×π×2²=π,
∴三段孤所围成的图形的周长为π十π十π=3π,面积为$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{2}$+π=2π.

18. (8分)在学习圆与正多边形时,马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法:
①如图,作直径AD;
②作半径OD的垂直平分线,交⊙O于B,C两点;
③连接AB,AC,BC,那么△ABC为所求的三角形.
请你判断两位同学的作法是否正确,如果正确,请你按照两位同学设计的画法,画出△ABC,然后给出△ABC是等边三角形的证明过程;如果不正确,请说明理由.

答案：
解:如图，两位同学的作法正确,证明;连接OB,OC,BD.由题意得OD⊥BC,OE
　　　=ED,
∴OB=BD,BE=EC,即OD垂直平分BC,
∴AB=AC.叉
∵OB=OD,
　
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×2∠BOD=60°,
∴△ABC为等边三角形.