《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

14. 如图,边长为2的正方形ABCD的顶点A,B在一个半径为2的圆上,顶点C,D在该圆内.将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点D第一次落在圆上时,C旋转到点C',则∠C'AB = ______.

答案： 75° 解析：取圆心O，连接OA，OB，OD'.
∵OA = OB = AB = 2，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠OAB = 60°. 同理∠OAD' = 60°.
∴∠BAD' = ∠OAB + ∠OAD' = 120°，又
∵正方形AB'C'D'中，∠D'AC' = $\frac{1}{2}$∠D'AB' = 45°，
∴∠C'AB = ∠BAD' - ∠D'AC' = 120° - 45° = 75°.

15. 如图,点E在线段AB上,过A,C,D三点的圆的圆心为点E,过B,F,E三点的圆的圆心为D,如果∠A = 66°,那么∠θ = ______.

答案： 16° 解析：连接CE，DE.
∵过A，C，D三点的圆的圆心为E，且过B，F，E三点的圆的圆心为D，
∴AE = CE = DE = DB，
∴∠A = ∠ACE，∠ECD = ∠CDE，∠DEB = θ，
∵∠A = 66°，
∴∠AEC = 180° - 2×66° = 48°，
∵∠ECD = ∠CDE = 2θ，
∴∠AEC = ∠ECD + θ = 3θ，即3θ = 48°，
∴θ = 16°.

16. 如图,已知A,B两点的坐标分别为($\sqrt{3}-1$,0),(0,$\sqrt{3}-1$),以点C(-1,-1)为圆心的⊙C分别与x轴,y轴都相切.若D是⊙C上的一个动点,线段DB与x轴交于点E,则△ABE的最大面积是______.

答案： $\sqrt{3}-1$ 解析：过点B作⊙C的切线BM(BM不与y轴重合)，交x轴于点N，当D与M重合时，E和N重合，此时AE最大，即S△ABE最大. 记⊙C切x轴于点W，切y轴于点F，连接CF，CW，则CF = CW = 1. 由切线长定理可知，NW = NM，BM = BF. 令NW = NM = x，则BN = BM - NM = BF - NM = $\sqrt{3}-x$，ON = 1 + x. 在Rt△BNO中，BN² = OB² + ON²，即($\sqrt{3}-x$)² = ($\sqrt{3}-1$)² + (1 + x)²，解得x = 2 - $\sqrt{3}$，
∴AN = OA + ON = 2，S△ABN = $\frac{1}{2}$AN·OB = $\sqrt{3}-1$，即△ABE的最大面积是$\sqrt{3}-1$. 点评：本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、三角形的面积、坐标与图形的性质等知识点，判断何时△ABE面积最大是解题的关键.

17. (6分)如图所示的是以点O为圆心的圆,⊙O上有一点A,请用尺规作图法,求作⊙O的内接正方形ABCD.(保留作图痕迹,不写作法)

答案：
解：如图所示.

18. (8分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC = BC = DC.
(1)若∠CBD = 39°,求∠BAD的度数;
(2)求证:∠1 = ∠2.

答案： 解：
(1)
∵DC = BC，
∴∠CBD = ∠CDB = 39°，
∴∠BCD = 180° - 2×39° = 102°.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD = 180° - ∠BCD = 78°.
(2)证明：
∵EC = BC，
∴∠CEB = ∠CBE. 又
∵∠CEB = ∠2 + ∠BAE，∠CBE = ∠1 + ∠CBD，
∴∠2 + ∠BAE = ∠1 + ∠CBD. 又
∵BC = DC，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DC}$，
∴∠BAE = ∠CBD，
∴∠1 = ∠2.