《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

8. 如图，正比例函数$y_1 = k_1x$的图象经过点$A(3,4)$，且与反比例函数$y_2 = \frac{k_2}{x}$的图象交于B，C两点，点C是OA的中点，当$y_1 ＞ y_2$时，x的取值范围为 ( )

A. $x ＞ -\frac{3}{2}$ B. $-\frac{3}{2} ＜ x ＜ \frac{3}{2}$
C. $-\frac{3}{2} ＜ x ＜ 0$或$x ＞ \frac{3}{2}$ D. $-3 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 3$

答案： C 解析：
∵点A(3,4)，点C是OA中点，
∴点C($\frac{3}{2}$,2)。
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴点B的横坐标为$-\frac{3}{2}$。由函数图象可知，当$-\frac{3}{2}＜x＜0$或$x＞\frac{3}{2}$时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴当$y_1＞y_2$时，x的取值范围是$-\frac{3}{2}＜x＜0$或$x＞\frac{3}{2}$。

9. 如图，两双曲线$y = \frac{k}{x}$与$y = -\frac{3}{x}$分别位于第一、四象限，A是y轴上任意一点，B是$y = -\frac{3}{x}$上的点，C是$y = \frac{k}{x}$上的点，线段$BC \perp x$轴于点D，且$4BD = 3CD$，则下列说法：①双曲线$y = \frac{k}{x}$在每个象限内，y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为3，则点C的坐标为$(3,-\frac{4}{3})$；③$k = 4$；④$\triangle ABC$的面积为定值7，正确的有 ( )


A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B 解析：
∵$y = \frac{k}{x}$位于第一象限，
∴$k＞0$，在每个象限内，y随x增大而减小，①正确；
∵点B在$y = -\frac{3}{x}$上，且横坐标为3，
∴B(3, -1)。
∴BD = 1，
∵4BD = 3CD，
∴$CD=\frac{4}{3}$，
∴$C(3,\frac{4}{3})$，②错误；设BD = 3m，
∵4BD = 3CD，
∴CD = 4m。
∵B点在$y = -\frac{3}{x}$上，
∴B点坐标为$(\frac{1}{m}, -3m)$，
∴$OD=\frac{1}{m}$，
∴点$C(\frac{1}{m},4m)$，代入$y = \frac{k}{x}$得$k = 4$，③正确；$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot OD=\frac{1}{2}\times7m\times\frac{1}{m}=\frac{7}{2}$，④错误。综上，正确的有2个。

10. 如图，菱形OABC的两个顶点A，C在反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$的第一象限内的图象上，已知菱形OABC的面积为6，点B的坐标为$(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$，则k的值为 ( )


A. 2
B. 4
C. $2\sqrt{2}$
D. 8

答案：
B 解析：如图，连接OB，AC，交于点Q，作AD⊥y轴于点D，AF⊥x轴于点F，CE⊥x轴于点E，则∠ADO = ∠CEO。
∵点B的坐标为$(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$，
∴点B在直线$y = x$上。
∵四边形OABC是菱形，
∴OB平分∠AOC，OA = OC，AC⊥BO，Q是AC，OB的中点，
∴∠AOD = ∠COE，
∴△AOD≌△COE(AAS)，
∴AD = CE，OD = OE。设A(m,n)，则C(n,m)。
∵Q是AC，OB的中点，
∴$\frac{m + n}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴$m + n = 3\sqrt{2}$。
∵$S_{菱形OABC}=6$，
∴$S_{\triangle AOC}=3$。
∵$S_{\triangle AOC}=S_{梯形ACEF}+S_{\triangle AOF}-S_{\triangle COE}=S_{梯形ACEF}$，
∴$\frac{1}{2}(m + n)(n - m)=3$，
∴$3\sqrt{2}(n - m)=6$，
∴$n - m=\sqrt{2}$，
∴$\begin{cases}m + n = 3\sqrt{2}\\n - m=\sqrt{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\sqrt{2}\\n = 2\sqrt{2}\end{cases}$。
∵点A，C在反比例函数$y = \frac{k}{x}(k\neq0)$的第一象限内的图象上，
∴$k = mn = 4$。 点评：本题考查菱形的性质、反比例函数系数的几何意义、全等三角形的判定和性质、三角形的面积，求得点A或点C的坐标是解题的关键。

11. 反比例函数$y = -\frac{2}{x}$的比例系数是______，它的图象在第______象限.

答案： -2 二、四

12. 已知反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象与正比例函数$y = -2x$的图象有交点，则k的取值范围为______.

答案： $k＜0$

13. 点$(2a - 5,y_1)$和点$(4 - a,y_2)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$的图象上，若$y_1 ＜ y_2$，则a的取值范围是__________.

答案： $a＜\frac{5}{2}$或$3＜a＜4$ 解析：①当$(2a - 5,y_1)$与$(4 - a,y_2)$在同一象限时，
∵$k＞0$，y随x的增大而减小，$y_1＜y_2$，
∴$2a - 5＞4 - a$，解得$a＞3$。
∵$4 - a＞0$，
∴$a＜4$，
∴$3＜a＜4$；②当$(2a - 5,y_1)$与$(4 - a,y_2)$在不同象限时，
∵$k＞0$，$y_1＜y_2$，
∴$\begin{cases}2a - 5＜0\\4 - a＞0\end{cases}$，
∴$a＜\frac{5}{2}$。综上，a的取值范围为$a＜\frac{5}{2}$或$3＜a＜4$。

14. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且$BE = 2EC$. 若四边形ODBE的面积为6，则$k =$______.

答案： 3 解析：连接OB。
∵$S_{\triangle OAB}=S_{\triangle OBC}$，$S_{\triangle AOD}=S_{\triangle COE}=\frac{|k|}{2}$，
∴$S_{\triangle BOD}=S_{\triangle BOE}=\frac{1}{2}S_{四边形ODBE}=3$，
∵BE = 2CE，
∴$k = 2S_{\triangle COE}=S_{\triangle BOE}=3$。