《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

22. (12分)阅读下列材料：
问题:已知方程$x^{2}+x - 1 = 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为$y$,则$y = 2x$,所以$x=\frac{y}{2}$,把$x=\frac{y}{2}$代入已知方程,得$(\frac{y}{2})^{2}+\frac{y}{2}-1 = 0$.
化简,得$y^{2}+2y - 4 = 0$,故所求方程为$y^{2}+2y - 4 = 0$.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式).
(1)已知方程$x^{2}+2x - 1 = 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为______________;
(2)已知关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.

答案： 解:
(1)y²−2y−1=0　解析:设所求方程的根为y,则y=−x,所以x=−y,把x=−y代入方程x²+2x−1=0,得y²−2y−1=0.　
(2)设所求方程的根为y,则y=$\frac{1}{x}$(x≠0),所以x=$\frac{1}{y}$(y≠0),把x=$\frac{1}{y}$代入方程ax²+bx+c=0,得a($\frac{1}{y}$)²+b($\frac{1}{y}$)+c=0,去分母，得cy²+by+a=0,若c=0,则ax²+bx=0,此时方程ax²+bx十c=0有一个根为0,不合题意，
∴c≠0,故所求方程为cy²+by+a =0(c≠0).