《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

21. (10分)阅读与思考
下面是小米同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务.
如果$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，那么$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$，即$a + b - 2\sqrt{ab} \geq 0$，得$a + b \geq 2\sqrt{ab}$，即$2\sqrt{ab}$是$a + b$的最小值，当$a = b$时，等号成立.
例题：当$m ＞ 0$时，求$m + \frac{1}{m}$的最小值.
解：令$a = m$，$b = \frac{1}{m}$，由$a + b \geq 2\sqrt{ab}$，得$m + \frac{1}{m} \geq 2\sqrt{m \times \frac{1}{m}}$，
$\therefore m + \frac{1}{m} \geq 2$，
故当$m = 1$时，$m + \frac{1}{m}$有最小值2.
任务：(1)填空：已知$x ＞ 0$，只有当$x =$______时，$x + \frac{4}{x}$有最小值，最小值为______.
(2)如图，P为双曲线$y = \frac{6}{x}(x ＞ 0)$上的一点，过点P作$PC \perp x$轴于点C，$PD \perp y$轴于点D，求$PC + PD$的最小值.

答案： 解：
(1)2 4 解析：
∵$x＞0$，$x+\frac{4}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}} = 4$，
∴当且仅当$x=\frac{4}{x}$时，$x+\frac{4}{x}$有最小值，最小值为4，此时，$x^2 = 4$，解得$x_1 = 2$，$x_2=-2$(舍去)。即$x = 2$时，$x+\frac{4}{x}$有最小值，最小值为4。
(2)设$P(\frac{6}{x},x)$。
∵$x＞0$，$PC + PD=x+\frac{6}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{6}{x}} = 2\sqrt{6}$，
∴当且仅当$x=\frac{6}{x}$时，即$x=\sqrt{6}$时，$PC + PD$有最小值，最小值为$2\sqrt{6}$。

22. (12分)我们规定：函数$y = \frac{ax + k}{x + b}(a,b,k是常数，k \neq ab)$叫奇特函数. 当$a = b = 0$时，奇特函数$y = \frac{ax + k}{x + b}$就是反比例函数$y = \frac{k}{x}(k是常数，k \neq 0)$.
(1)如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x和y后，得到新矩形的面积为8. 求y与x之间的函数表达式，并判断它是否为奇特函数；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C坐标分别为$(6,0)$，$(0,3)$，点D是OA的中点，连接OB，CD交于点E，若奇特函数$y = \frac{ax + k}{x - 4}$的图象经过点B，E，求该奇特函数的表达式；
(3)把反比例函数$y = \frac{2}{x}$的图象向右平移______个单位，再向上平移______个单位就可得到(2)中得到的奇特函数的图象.

答案： 解：
(1)由题意得$(2 + x)(3 + y)=8$，即$3 + y=\frac{8}{x + 2}$，
∴$y=\frac{8}{x + 2}-3=\frac{-3x + 2}{x + 2}$。根据定义可知$y=\frac{-3x + 2}{x + 2}$是奇特函数。
(2)由题意得B(6,3)，D(3,0)，易得直线OB的解析式为$y=\frac{1}{2}x$。设直线CD的解析式为$y = kx + b$，代入C(0,3)，D(3,0)，得$\begin{cases}3k + b = 0\\b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b = 3\end{cases}$，
∴$y=-x + 3$。联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=-x + 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$，
∴点E(2,1)。将点B(6,3)和E(2,1)代入$y=\frac{ax + k}{x - 4}$，得$\begin{cases}\frac{6a + k}{6 - 4}=3\\\frac{2a + k}{2 - 4}=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\k=-6\end{cases}$，
∴奇特函数表达式为$y=\frac{2x - 6}{x - 4}$。
(3)4 2 解析：
∵$y=\frac{2x - 6}{x - 4}=\frac{2x - 8 + 2}{x - 4}=2+\frac{2}{x - 4}$，
∴把反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象向右平移4个单位，再向上平移2个单位，就可得到奇特函数$y=\frac{2x - 6}{x - 4}$。