《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

19. (8分)已知函数y₁=ax² + bx,y₂=ax + b(ab≠0)的图象在同一平面直角坐标系中.
(1)若函数y₁的图象过点(-1,0),函数y₂的图象过点(1,2),求a,b的值;
(2)若函数y₂的图象经过y₁的顶点.
①求证:2a + b=0;
②当1＜x＜$\frac{3}{2}$时,比较y₁,y₂的大小.

答案： 解:
(1)将点(−1,0)代入y₁ = ax² + bx，点(1,2)代入y₂ = ax + b，得$\begin{cases}a－b = 0\\a + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = 1\end{cases}$。
(2)①证明:由题意得y₁的顶点坐标为(－$\frac{b}{2a}$，－$\frac{b^2}{4a}$).
∵y₂经过y₁的顶点，
∴a(－$\frac{b}{2a}$)+ b =－$\frac{b^2}{4a}$，整理得b(2a + b)= 0，
∵ab≠0，
∴b≠0，
∴2a + b = 0. ②
∵2a + b = 0，
∴b =－2a，
∴y₁ = ax²－2ax，y₂ = ax－2a，
∴y₁－y₂ = ax²－3ax + 2a = a(x－1)(x－2).
∵1＜x＜$\frac{3}{2}$，
∴x－1＞0，x－2＜0，
∴(x－1)(x－2)＜0，
∴当a＞0时，a(x－1)(x－2)＜0，即y₁＜y₂；当a＜0时，a(x－1)(x－2)＞0，即y₁＞y₂.

20. (10分)已知抛物线y=ax² + bx + c(a＜0)经过点A(-3,0),B(1,0),且与y轴交于点C,设抛物线的顶点为D.
(1)求点C,D的坐标(用含a的式子表示);
(2)当a变化时,△ACD能否为直角三角形? 若能,求出所有符合条件的a的值;若不能,请说明理由.

答案： 解:
(1)由题可设抛物线为y=a(x+3)(x−1)=a(x²+2x−3)=a(x+1)²−4a,
∴顶点D(−1,−4a),令x=0得y=−3a,
∴点C(0,−3a).
(2)由
(1)得C(0,−3a),D(−1,−4a),
∴AC²=9+9a²,AD²=4+16a²,CD²=1+a².
∵∠DAC＜90°,
∴①若∠ADC=90°,则AC²=AD²+CD²,
∴9+9a²=4+16a²+1+a²,
∴a²=$\frac{1}{2}$,
∵a＜0,
∴a=−$\frac{\sqrt{2}}{2}$;②若∠DCA=90°,则AD²=AC²+CD²,
∴4 +16a²=9+9a²+1+a²,
∴a²=1.
∵a＜0,
∴a=−1.综上,a的值为−1或−$\frac{\sqrt{2}}{2}$.