《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

23. (12分)如图,已知BC是$\odot O$的弦,A是$\odot O$外一点,$\triangle ABC$为正三角形,D为BC的中点,M为$\odot O$上一点,且$\angle BMC = 60^{\circ}$.
(1)求证:AB是$\odot O$的切线;
(2)若E,F分别是边AB,AC上的两个动点,且$\angle EDF = 120^{\circ}$,$\odot O$的半径为2,试问$BE + CF$的值是否为定值? 若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.

答案：
23. 解：
(1)证明：如图，连接OB，OD，OC.
∵D为BC中点，
∴OD⊥BC，∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠ODB = 90°，
∵∠BMC = 60° = $\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠BOD = ∠BMC = 60°，
∴∠OBD = 30°，
∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC = 60°，
∴∠ABO = ∠ABC + ∠DBO = 90°，
∴AB⊥OB，
∴AB是⊙O的切线.
(2)BE + CF的值是定值. 理由如下：如图，过点D作DH⊥AB于点H，DN⊥AC于点N，连接AD.
∵△ABC为正三角形，D为BC中点，
∴AD平分∠BAC，
∴DH = DN，∠HDN = 120°，
∵∠EDF = 120°，
∴∠HDE = ∠NDF，在△DHE和△DNF中，$\begin{cases}\angle DHE = \angle DNF\\DH = DN\\\angle HDE = \angle NDF\end{cases}$，
∴△DHE≌△DNF，
∴HE = NF，
∴BE + CF = BH + EH + CN - NF = BH + CN. 在Rt△DHB中，
∵∠DBH = 60°，
∴∠BDH = 30°，
∴$BH=\frac{1}{2}BD$. 同理得$CN=\frac{1}{2}CD$，
∴BE + CF = BH + CN = $\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}BC = BD$. 由
(1)知，在Rt△BOD中，∠OBD = 30°，
∴$OD=\frac{1}{2}OB = 1$，
∴$BD=\sqrt{BO^{2}-OD^{2}}=\sqrt{3}$，即BE + CF为定值$\sqrt{3}$.