《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

19. (8分)如图,已知二次函数$y = x^{2}+4x + 3$,回答下列问题.

(1)求出此抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)写出抛物线与$x$轴交点$A,B$的坐标,与$y$轴的交点$C$的坐标;
(3)写出函数的最值和增减性;
(4)$x$取何值时,①$y＜0$;②$y＞0$.

答案： 解:
(1)
∵y=x²+4x+3=(x+2)²−1,
∴抛物线的对称轴为直线x=−2,顶点坐标为(−2,−1).
(2)当x=0时,y=3,
∴C点坐标为(0,3);当y=0时,x²+4x+3=0,解得x1=−3,x2=−1.
∴A点坐标为(−3,0),B点坐标为(−1,0).
(3)
∵y=x²+4x+3=(x+2)²−1,
∴当x=−2时,二次函数有最小值−1.
∵a＞0,
∴图象开口向上，
∴当x＜−2时,y随x的增大而减小;当x＞−2时,y随x的增大而增大,
(4)
∵A(−3,0),B(−1,0),
∴①当−3＜x＜−1时,y＜0;②当x＜−3或x＞−1时,y＞0.

20. (10分)小兵和小伙伴一起玩扔小石头游戏,我们把小石头的运动轨迹看成是抛物线的一部分. 如图所示,以点$O$为原点建立平面直角坐标系. 已知扔小石头的出手点$A$在点$O$正上方2米的位置,小石头在与点$O$的水平距离为6米时达到最高高度5米;$BC$为扔小石头的预期击中目标,点$B$在$x$轴上,离点$O$的水平距离为12米,点$C$在点$B$的正上方2米.

(1)判断小兵扔的小石头能否正好击中点$C$,并说明理由;
(2)求小石头运动轨迹所在抛物线的解析式;
(3)直接写出小石头在运动过程中与直线$OC$的最大竖直距离.

答案： 解:
(1)小兵扔的小石头能击中点C.理由如下:根据题意，可得;抛物线的对称轴为直线x=6,A(0,2),C(12,2),
∴点A和点C关于直线x=6对称，
∴点C在抛物线上,
∴小兵扔的小石头能击中点C.
(2)根据题意，可得抛物线的顶点坐标为(6,5)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−6)²+5.
∵点A(O,2)在抛物线上，
∴2=36a+5,解得a=一$\frac{1}{12}$
∴小石头运动轨迹所在抛物线的解析式为y=一$\frac{1}{12}$(x −6)²+5=−$\frac{1}{12}$x²+x+2(0≤x≤12).
(3)$\frac{49}{12}$. 解析:如图，连接OC.设直线OC的解析式为y=kx(k≠0),把C(12,2)代入,可得k=$\frac{1}{6}$,
∴直线OC的解析式为y=$\frac{1}{6}$x.设直线OC上方的抛物线上的一点P的坐标为(t,−$\frac{1}{12}$²十t+2),过点P作PQ⊥x轴,交OC于点Q,则Q的坐标为(t,$\frac{1}{6}$t),
∴PQ=−$\frac{1}{12}$t+t+2−$\frac{1}{6}$t=−$\frac{1}{12}$t²+$\frac{5}{6}$t+2=−$\frac{1}{12}$(t−5)²+$\frac{49}{12}$
∴当t=5时,PQ有最大值，最大值为$\frac{49}{12}$.
∴小石头在运动过程中与直线OC的最大竖直距离为$\frac{49}{12}$.