《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

22. (12分)
【提出问题】
小惠在学习《圆》的知识时,根据已经证得的命题“两条平行线之间的任何两条平行线段都相等”,又提出了“两条平行弦所夹的弧相等”的命题.
【探究】
为了证明该命题的正确性,画了图1并连接半径OC,OD(即:AB为$\odot O$的直径,CD为弦且$CD// AB$,求证:$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$).
(1)请按图1帮小惠证明当一条弦为直径时命题成立;
(2)显然,小惠只证了一条弦为直径的情形,失去了一般性. 请你在下面两个备用图中画出其他情形,并尝试运用转化的思想,直接利用小惠的结论解决这个问题;
【应用】
(3)如图2,AC,BD是$\odot O$的两条弦,且$AC\perp BD$,$\odot O$的半径为$\frac{1}{2}$,猜想$AB^{2}+CD^{2}$的值为______.

答案：
22. 解：
(1)证明：如图1，
∵OC = OD，
∴∠1 = ∠2.
∵CD//AB，
∴∠1 = ∠3，∠2 = ∠4，
∴∠3 = ∠4，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BD}$.
(2)如图2，当平行弦在圆心两侧. 作直径EF，使EF//AB. 由
(1)的结论可知，$\widehat{AE}=\widehat{BF}$.
∵CD//AB，
∴EF//CD，同理得$\widehat{CE}=\widehat{DF}$，
∴$\widehat{AE}+\widehat{CE}=\widehat{BF}+\widehat{DF}$，即$\widehat{AC}=\widehat{BD}$；如图3，当平行弦在圆心同侧. 作直径EF，使EF//AB.
∵CD//AB，
∴EF//CD，由
(1)的结论可知，$\widehat{AE}=\widehat{BF}$，$\widehat{CE}=\widehat{DF}$，
∴$\widehat{CE}-\widehat{AE}=\widehat{DF}-\widehat{BF}$，即$\widehat{AC}=\widehat{BD}$.
(3)1 解析：如图4，作直径AE，连接CE，BE.
∵AE为直径，
∴∠ACE = 90°，即AC⊥CE.
∵AC⊥BD，
∴BD//CE，
∴$\widehat{BE}=\widehat{CD}$，
∴BE = CD.
∵AE为直径，
∴∠ABE = 90°，
∴AB² + BE² = AE² = 1，
∴AB² + CD² = 1.