《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

19. (10分)如图,纸片ABCD是一个菱形,其边长为2,∠BAD=120°. 以点A为圆心的扇形与边BC相切于点E,与AB,AD分别相交于点F,G.
(1)请你判断所作的扇形与边CD的位置关系,并说明理由;
(2)若以所作出的扇形为侧面围成一个圆锥,求该圆锥的全面积.

答案： 解:
(1)扇形与边CD相切.理由:过点A作AH⊥CD于点H,连接AE,AC;
∵
　　　四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°,
∴∠BAC=∠CAD=60°.又
∵BC与扇形
　　　相切，
∴AE⊥BC,
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°,
∴BE=1,AE=$\sqrt{3}$=r.
∵AH⊥CD,∠D=60°,
∴∠DAH=30°,
∵AD=2,
∴DH=$\frac{1}{2}$AD=1,
∴AH=$\sqrt{3}$=r,
∴扇形与边CD相切.　　
(2)由
(1)得
AE=r=$\sqrt{3}$设所围圆锥底面半径为R,
∴2πR=120πX√3,
∴R=笃,
∴S=π×($\frac{\sqrt{3}}{3}$2+120π3×60
(3)²=$\frac{4}{3}$π.

20. (10分)阅读与思考
请阅读下列材料,并完成相应的任务:
克罗狄斯·托勒密(约90年—168年),是希腊数学家,天文学家,地理学家和占星家. 在数学方面,他还论证了四边形的特性,即有名的托勒密定理,托勒密定理的内容如下:圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和. 即:如图1,若四边形ABCD内接于⊙O,则有____________________.
任务:(1)材料中划横线部分应填写的内容为______________________________.
(2)如图2,正五边形ABCDE内接于⊙O,AB=2,求对角线BD的长.

答案： 解:
(1)AB.CD+AD.BC=AC.BD　
(2)连接AD,AC.
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴易证△ABC≌△DCB≌△AED(SAS),
∴BD=AC=AD.设BD=AC=AD=x.在圆内接四边形ABCD 中,由托勒密定理可得AB.CD+AD.BC=AC.BD,即2×2+x.2=x²,解得x1=1+√5,x2=1 $\sqrt{5}$(舍去).
∴对角线BD的长为1+　　$\sqrt{5}$