《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

19. (8分)如图，在直角坐标系中，一次函数$y = kx + b$与反比例函数$y = \frac{8}{x}(x ＞ 0)$的图象交于$A(1,m)$，$B(n,2)$两点.
(1)求一次函数的解析式；
(2)将一次函数$y = kx + b$的图象沿y轴的负方向平移$a(a ＞ 0)$个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数$y = \frac{8}{x}(x ＞ 0)$的图象只有一个交点时a的值.

答案： 解：
(1)
∵A(1,m)，B(n,2)都在$y = \frac{8}{x}$上，
∴A(1,8)，B(4,2)，分别代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}k + b = 8\\4k + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b = 10\end{cases}$，
∴$y=-2x + 10$。
(2)$y=-2x + 10$沿y轴负方向平移a个单位长度可得$y=-2x + 10 - a$，
∵交点在第一象限，
∴$10 - a＞0$，解得$a＜10$。令$-2x + 10 - a=\frac{8}{x}$，整理得$2x^2+(a - 10)x + 8 = 0$，
∵两图象只有一个交点，
∴$\Delta=(a - 10)^2-4\times2\times8=(a - 10)^2-64 = 0$，解得$a = 2$或$a = 18$(舍去)。
∴a的值为2。

20. (10分)在平面直角坐标系中，已知反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$的图象与直线$y = k_1x$和直线$y = k_2x$分别交于点A，B和点C，D，且$k_1k_2 \neq 0$，$k_1 \neq k_2$.
(1)若点A，B的坐标分别为$(1,a^2)$，$(-1,4 - 4a)$，求a，k的值；
(2)如图所示，已知$k = 8$，过点A，C分别作AE，CF垂直于y轴和x轴，垂足分别为点E，F，若EA，FC的延长线交于点$M(4,5)$，求$\triangle OAC$的面积.

答案： 解：
(1)根据反比例函数图象的对称性知$a^2=-(4 - 4a)$，解得$a = 2$，
∴$k = 4$。
(2)
∵CF⊥OF，AE⊥OE，M(4,5)，
∴OF = 4，OE = 5，又
∵A，C两点在$y = \frac{8}{x}$的图象上，
∴$A(\frac{8}{5},5)$，C(4,2)，
∴$AM=\frac{12}{5}$，$CM = 3$。
∴$S_{\triangle AOC}=S_{矩形OFME}-S_{\triangle AOE}-S_{\triangle OFC}-S_{\triangle AMC}=4\times5-4-4-\frac{1}{2}\times\frac{12}{5}\times3=\frac{42}{5}$。