《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

21. (10分)老师给小明出了一道题,小明感到有困难,请你帮助小明解决这个问题,题目是这样的:一个三角形两边长分别是3和4,第三边长是$x^2 - 8x + 15 = 0$的一个实数根,请结合作图求这个三角形的外接圆面积.

答案：
解：解x² - 8x + 15 = 0得x1 = 3，x2 = 5，当第三边长是3时，三角形三边长为3，3，4. 如图1，AB = AC = 3，BC = 4，点O为△ABC的外接圆圆心，连接OA，OB，OA交BC于点D.
∵点O为△ABC的外接圆圆心，AB = AC = 3，
∴OD垂直平分BC，
∴BD = $\frac{1}{2}BC = 2$，
∴AD = $\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{5}$. 设OA = OB = r，
∵OB² = BD² + OD²，
∴r² = 2² + (r - $\sqrt{5}$)²，解得r = $\frac{9\sqrt{5}}{10}$，
∴这个三角形的外接圆面积为π×($\frac{9\sqrt{5}}{10}$)² = $\frac{81}{20}$π；当第三边长是5时，三角形三边长为3，4，5. 如图2，AB = 3，AC = 4，BC = 5，点O为△ABC的外接圆圆心，连接OA.
∵AB² + AC² = BC²，
∴∠BAC = 90°，
∴BC为⊙O的直径，
∴OA = $\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$，
∴这个三角形的外接圆面积为π×($\frac{5}{2}$)² = $\frac{25}{4}$π. 综上，这个三角形的外接圆面积为$\frac{81}{20}$π或$\frac{25}{4}$π. 点评：本题主要考查了三角形的外接圆、勾股定理、垂径定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识，会利用分类讨论思想解答是解题的关键.

22. (12分)定义:圆心在三角形的一边上,与另一边相切,且经过三角形一个顶点(非切点)的圆,称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”.
(1)如图1,△ABC中,∠C = 90°,AB = 5,BC = 3,则AC边上的伴随圆⊙O的半径为______;
(2)如图2,已知等腰△ABC,AB = AC = 5,BC = 6. ⊙O是AB边上的一个伴随圆,其中圆心O在腰AB边上,与BC相切,且经过点A,求伴随圆⊙O的半径.

答案：
解：
(1)2
(2)如图，设⊙O与BC相切于点E，过点A作AF⊥BC于点F，过点O作OG⊥AF于点G，连接OE，则OE⊥BC.
∵AB = AC，
∴BF = $\frac{1}{2}BC = 3$，
∴AF = $\sqrt{AB^{2}-BF^{2}} = 4$. 设⊙O的半径为r，则AO = OE = r，BO = 5 - r，AG = 4 - r.
∵OE⊥BC，AF⊥OG，BE = $\sqrt{BO^{2}-OE^{2}}=\sqrt{(5 - r)^{2}-r^{2}}=\sqrt{25 - 10r}$，EF = OG = $\sqrt{AO^{2}-AG^{2}}=\sqrt{r^{2}-(4 - r)^{2}}=\sqrt{8r - 16}$，
∴BF = BE + EF = $\sqrt{25 - 10r}+\sqrt{8r - 16}=3$，两边平方整理得r = $\sqrt{(25 - 10r)(8r - 16)}$，再平方整理得81r² - 360r + 400 = 0，即(9r - 20)² = 0，
∴r = $\frac{20}{9}$. 即伴随圆⊙O的半径为$\frac{20}{9}$.