《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

20. (10分)如图,已知一次函数$y = \frac{3}{2}x - 3$与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象相交于点$A(4,n)$,与$x$轴相交于点$B$.
(1)填空:$n$的值为______,$k$的值为______;
(2)以$AB$为边作菱形$ABCD$,使点$C$在$x$轴正半轴上,点$D$在第一象限,求点$D$的坐标;
(3)观察反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象,当$y\geq - 2$时,请直接写出自变量$x$的取值范围.

答案： 解：
(1)3 12
(2)
∵$y = \frac{3}{2}x - 3$与x轴相交于点B，
∴令$\frac{3}{2}x - 3 = 0$，解得x = 2，
∴B(2,0). 又
∵A(4,3)，
∴$AB=\sqrt{(4 - 2)^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD = AB = $\sqrt{13}$，
∴$D(4+\sqrt{13},3)$.
(3)x≤－6或x＞0.

21. (10分)如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1:y = -\frac{1}{2}x$与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象交于$A,B$两点(点$A$在点$B$左侧),已知$A$点的纵坐标是2.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)根据图象直接写出$-\frac{1}{2}x＞\frac{k}{x}$的解集;
(3)直线$l_1:y = -\frac{1}{2}x$沿$y$轴向上平移后的直线$l_2$与反比例函数$y = \frac{k}{x}$在第二象限内交于点$C$,如果$\triangle ABC$的面积为30,求平移后的直线$l_2$的函数表达式.

答案：
解：
(1)
∵直线$l_1:y = -\frac{1}{2}x$经过点A，把y = 2代入得，x = －4，
∴点A(－4,2).
∵反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象经过点A，
∴k = －4×2 = －8，
∴反比例函数的表达式为$y = -\frac{8}{x}$.
(2)x＜－4或0＜x＜4. 解析：
∵直线$l_1:y = -\frac{1}{2}x$与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，
∴B(4，－2)，结合图象可知，$-\frac{1}{2}x＞\frac{k}{x}$的解集为x＜－4或0＜x＜4.
(3)如图，设平移后的直线$l_2$与x轴交于点D，连接AD，BD.
∵CD//AB，
∴△ABC与△ABD的面积相等，
∵$S_{\triangle ABC}=30$，
∴$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle AOD}+S_{\triangle BOD}=30$，即$\frac{1}{2}OD(|y_A|+|y_B|)=30$，
∴$\frac{1}{2}×OD×4 = 30$，
∴OD = 15，
∴D(15,0). 设平移后的直线$l_2$的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x + b$，把D(15,0)代入，得$0 = -\frac{1}{2}×15 + b$，解得$b = \frac{15}{2}$，
∴平移后的直线$l_2$的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}$. 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积. 解题的关键是根据△ABC的面积与△ABD的面积相等，得到点D的坐标.