《2024年孟建平单元测试九年级数学全一册人教版》

17. (6分)圆圆在解答问题“在矩形ABCD中,AB = 6,AD = 8,以A为圆心作⊙A,使得B,C,D三点中至少有一点在⊙A内,有一点在⊙A外,求⊙A的半径r的取值范围.”时,答案为“6＜r＜8”. 圆圆的答案对吗? 如果错误,请写出正确的解答过程.

答案： 解：圆圆的结果不正确. 连接AC.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B = 90°，BC = AD = 8. 根据勾股定理，得AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$.
∵B，C，D三点中至少有一点在⊙A内，有一点⊙A在外，
∴点B在圆内，点C在圆外，
∴6＜r＜10.

18. (8分)如图,AB为⊙O的直径,PQ切⊙O于点T,AC⊥PQ于点C,交⊙O于点D.
(1)求证:AT平分∠BAC;
(2)若AD = 2,TC = $\sqrt{3}$,求⊙O的半径.

答案：
解：
(1)证明：如图，连接OT.
∵PQ切⊙O于点T，
∴OT⊥PQ，又
∵AC⊥PQ，
∴OT//AC，
∴∠TAC = ∠ATO. 又
∵OT = OA，
∴∠ATO = ∠OAT，
∴∠OAT = ∠TAC，即AT平分∠BAC.
(2)如图，过点O作OM⊥AC于点M，
∴AM = $\frac{AD}{2}=1$. 又
∵∠OTC = ∠ACT = ∠OMC = 90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴OM = TC = $\sqrt{3}$. 在Rt△AOM中，AO = $\sqrt{OM^{2}+AM^{2}}=\sqrt{3 + 1}=2$，即⊙O的半径为2.